BZOJ1856: [Scoi2010]字符串

Posted 2020-10-05 QYP_2002

1856: [Scoi2010]字符串

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Description

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Input

输入数据是一行，包括2个数字n和m

Output

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

Sample Input

2 2

Sample Output

2

HINT

【数据范围】
对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

思路{

　　我们不妨把它在平面坐标系上抽象出来,

　　从(0,1)开始用1表示走(1,1),0表示(1,-1);

　　那么所求就是从(0,1)到(n+m,n-m)不经过x轴的方案数=(0,1)到(n+m,n-m)不经过x轴的方案数-(0,1)到(n+m,n-m)经过x轴的方案数.

　　(0,1)到(n+m,n-m+1)的方案数=c(n+m,m);

　　而(0,1)到(n+m,n-m)经过x轴的方案数又相当于

　　把从起点到x轴翻转=从(0,-1)经过x轴的方案数到(n+m,n-m-2),

　　算出向上走n-1步,那么(0,1)到(n+m,n-m)经过x轴的方案数=c(n+m,n-1);

　　故ans=c(n+m,m)-c(n+m,n-1);

}

 

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define il inline 
#define mod 20100403
#define N 2000010
#define LL long long
using namespace std;
LL fac[N];
void pre(){
  fac[1]=fac[0]=1;
  for(int i=2;i<N;++i)fac[i]=fac[i-1]*i,fac[i]%=mod;
}
LL qp(LL a,LL b){
  if(b==1)return a%mod;
  if(!b)return 1;
  LL tmp=qp(a,(b>>1));
  tmp=tmp*tmp%mod;
  if(b&1)tmp*=a,tmp%=mod;
  return tmp;
}
LL ni(LL x){return qp(x,mod-2);}
LL calc(LL m,LL n){
  return (fac[n]*ni((fac[m]*fac[n-m])%mod))%mod;
}
int main(){
  pre();
  int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
  cout<<(calc(n,n+m)-calc(n+1,n+m)+mod)%mod;
  return 0;
}