SG函数

Posted 2020-10-05 Yeader

转自：Angel_Kitty

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

        游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。

SG函数：

        首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

        对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

【实例】取石子问题

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4-  f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推.....

   x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。

 模板一（SG打表）：

 1 //f[]：可以取走的石子个数
 2 //sg[]:0~n的SG函数值
 3 //hash[]:mex{}
 4 int f[N];//可以取走的石子个数
 5 int sg[N];//0~n的SG函数值
 6 int Hash[N];
 7 
 8 void getSG(int n){
 9     memset(sg,0,sizeof(sg));
10     for(int i = 1; i <= n; i++){
11         memset(Hash,0,sizeof(Hash));
12         for(int j = 1; f[j] <= i; j++)
13             Hash[sg[i-f[j]]] = 1;
14         for(int j = 0; j <= n; j++){    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
15             if(Hash[j] == 0){
16                 sg[i] = j;
17                 break;
18             }
19         }
20     }
21 }

模板二（dfs）：

 1 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍  
 2 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组  
 3 int s[N],sg[N],n;  
 4 bool vis[N];  
 5 int dfs_SG(int x){  
 6     if(sg[x] != -1)  
 7         return sg[x];  
 8     memset(vis,0,sizeof(vis));  
 9     for(int i = 0; i < n; ++i){  
10         if(x >= s[i]){  
11             dfs_SG(x-s[i]);  
12             vis[sg[x-s[i]]] = 1;  
13         }  
14     }  
15     for(int i = 0;; ++i){  
16         if(!vis[i]){  
17             e = i;  
18             return sg[x] = i;  
19         }  
20     }  
21 } 

 

例题一：

HDU 1536 S-Nim

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536

题目大意：两个人玩Nim游戏，但是对规则进行了改变，每次只能给定集合A={a1,a2....ak}内的石子个数，问先手是否会胜利。

解题思路：这就可以直接用我们上面的结论了，可以将各堆的SG值当成Nim里的堆来用，异或求出sum=sg(x1)^sg(x2)^.....sg(xn),sum如果不等于0，则先手必胜，反之，必败。这里我把sg函数写成了递推的形式，还有一点，vis[]一定要是bool型！！！否则memset()会超时，原来memset()对bool类型的速度int快那么多，今天才知道。。。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 const int N=1e4+5;
 4 int sg[N];//存储各个点的SG值
 5 bool vis[N];//vis一定要是bool型,否则memset会超时,vis[i]=true,表示在集合S内 
 6 int s[105];
 7 
 8 //sg函数 
 9 void sg_solve(int k){
10     memset(sg,0,sizeof(sg));
11     for(int i=0;i<N;i++){
12         memset(vis,false,sizeof(vis));
13         for(int j=1;j<=k;j++){
14             //将能够一步到达的状态的SG值存入集合S 
15             if(i-s[j]>=0)
16                 vis[sg[i-s[j]]]=true;
17         }
18         for(int j=0;;j++){
19             if(!vis[j]){
20                 sg[i]=j;
21                 break;
22             }
23         }
24     }
25 }
26 
27 int main(){
28     int k;
29     while(~scanf("%d",&k)&&k){
30         for(int i=1;i<=k;i++){
31             scanf("%d",&s[i]);
32         }
33         sg_solve(k);
34         int n;
35         scanf("%d",&n);
36         while(n--){
37             int m,sum=0;
38             scanf("%d",&m);
39             for(int i=1;i<=m;i++){
40                 int x;
41                 scanf("%d",&x);
42                 sum^=sg[x];
43             }
44             if(sum)
45                 printf("W");
46             else
47                 printf("L");
48         }
49         printf("\\n");
50     }
51 }

 

例题二

HDU 1848 Fibonacci again and again

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

题目大意：一共有3堆石子，两人轮流操作，每次只能取斐波那契数个石子，先取完石子者胜利，问先手胜还是后手胜？

解题思路：SG函数模板

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 const int N=1e3+5;
 4 int f[100]={0,1,2},sg[N];
 5 bool vis[N];
 6 
 7 void fib(){
 8     for(int i=3;i<=20;i++){
 9         f[i]=f[i-1]+f[i-2];
10     }
11 }
12 
13 void sg_get(void){
14     memset(sg,0,sizeof(sg));
15     for(int i=1;i<N;i++){
16         memset(vis,false,sizeof(vis));
17         for(int j=1;f[j]<=i;j++){
18             vis[sg[i-f[j]]]=true;                        
19         }
20         for(int j=0;j<N;j++){
21             if(!vis[j]){
22                 sg[i]=j;
23                 break;
24             }
25         }
26     }
27 }
28 
29 int main(){
30     fib();
31     sg_get();
32     int m,n,p;
33     while(~scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)&&(m||n||p)){
34         int sum=0;
35         sum=sg[m]^sg[n]^sg[p];
36         if(sum)
37             puts("Fibo");
38         else
39             puts("Nacci");
40     }
41 }