全排列算法的全面解析

Posted 2020-06-29 Q-WHai

概述

对数组进行全排列是一个比较常见问题，如果是一个比较喜欢考算法的公司（貌似一些大公司都比较喜欢考算法），那么估计就会考察应聘者这个全排列的问题了（就算不让你编写完整代码，也会让你描述大致的思路）。这个问题也难也难，说易也易，下面我就来对这个问题进行一个比较全面的解析吧。如有遗漏，还望指正。

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版权说明

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本文作者：Q-WHai
发表日期： 2016年3月27日
本文链接：https://qwhai.blog.csdn.net/article/details/50986990
来源：CSDN
更多内容：分类 >> 算法与数学

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描述

对于一个给定的序列 a = [a1, a2, a3, … , an]，请设计一个算法，用于输出这个序列的全部排列方式。
例如：a = [1, 2, 3]
输出

[1, 2, 3]
[1, 3, 2]
[2, 1, 3]
[2, 3, 1]
[3, 2, 1]
[3, 1, 2]

如果要按从小到大输出呢？算法又要怎么写？

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基于递归的实现

思路分析

我们知道全排列的含义就是一个序列所有的排序可能性，那么我们现在做这样的一个假设，假设给定的一些序列中第一位都不相同，那么就可以认定说这些序列一定不是同一个序列，这是一个很显然的问题。有了上面的这一条结论，我们就可以同理得到如果在第一位相同，可是第二位不同，那么在这些序列中也一定都不是同一个序列，这是由上一条结论可以获得的。
那么，这个问题可以这样来看。我们获得了在第一个位置上的所有情况之后，抽去序列T中的第一个位置，那么对于剩下的序列可以看成是一个全新的序列T1，序列T1可以认为是与之前的序列毫无关联了。同样的，我们可以对这个T1进行与T相同的操作，直到T中只一个元素为止。这样我们就获得了所有的可能性。所以很显然，这是一个递归算法。
例如下面这幅图，就是第1个元素与其后面的所有其他元素进行交换的示意图。

如果我们从中抽出第i个元素，将剩下的其余元素进行上图交换操作，将是如下示意图。

所有元素均无相同的情况

基于上面的分析，我们知道这个可以采用递归式实现，实现代码如下：

private static void core(int[] array) {
        int length = array.length;
        fullArray(array, 0, length - 1);
    }
    
    private static void fullArray(int[] array, int cursor, int end) {
        if (cursor == end) {
            System.out.println(Arrays.toString(array));
        } else {
            for (int i = cursor; i <= end; i++) {
                ArrayUtils.swap(array, cursor, i);
                fullArray(array, cursor + 1, end);
            }
        }
    }

运行结果

[1, 2, 3]
[1, 3, 2]
[3, 1, 2]
[3, 2, 1]
[1, 2, 3]
[1, 3, 2]

这个答案就有一些让人匪夷所思了，为什么会有几组是重复的？为什么第一位里面没有 2？
理论上，上面的代码没有问题，因为当我们循环遍历序列中每一位时，都有继续进行后面序列的递归操作。core()方法当然没什么问题，问题是出在fullArray()方法上了。很容易锁定在了那个for循环里。我们来仔细推敲一下循环体里的代码，当我们对序列进行交换之后，就将交换后的序列除去第一个元素放入到下一次递归中去了，递归完成了再进行下一次循环。这是某一次循环程序所做的工作，这里有一个问题，那就是在进入到下一次循环时，序列是被改变了。可是，如果我们要假定第一位的所有可能性的话，那么，就必须是在建立在这些序列的初始状态一致的情况下（感兴趣的你可以想想这是为什么）。
好了，这样一来问题找到了，我们需要保证序列进入下一次循环时状态的一致性。而保证的方式就是对序列进行还原操作。我们修改fullArray()如下：

private static void fullArray(int[] array, int cursor, int end) {
        if (cursor == end) {
            System.out.println(Arrays.toString(array));
        } else {
            for (int i = cursor; i <= end; i++) {
                ArrayUtils.swap(array, cursor, i);
                fullArray(array, cursor + 1, end);
                ArrayUtils.swap(array, cursor, i); // 用于对之前交换过的数据进行还原
            }
        }
    }

修改后的运行结果

[1, 2, 3]
[1, 3, 2]
[2, 1, 3]
[2, 3, 1]
[3, 2, 1]
[3, 1, 2]

存在相同元素的情况

上面的程序乍一看没有任何问题了。可是，如果我们对序列进行一下修改 array = {1, 2, 2}.我们看看运行的结果会怎么样。

[1, 2, 2]
[1, 2, 2]
[2, 1, 2]
[2, 2, 1]
[2, 2, 1]
[2, 1, 2]

这里出现了好多的重复。重复的原因当然是因为我们列举了所有位置上的可能性，而没有太多地关注其真实的数值。
现在，我们这样来思考一下，如果有一个序列T = {a1, a2, a3, …, ai, … , aj, … , an}。其中，a[i] = a[j]。那么是不是就可以说，在a[i]上，只要进行一次交换就可以了，a[j]可以直接忽略不计了。好了，基于这样一个思路，我们对程序进行一些改进。我们每一次交换递归之前对元素进行检查，如果这个元素在后面还存在数值相同的元素，那么我们就可以跳过进行下一次循环递归（当然你也可以反着来检查某个元素之前是不是相同的元素）。
基于这个思路，不难写出改进的代码。如下：

private static void core(int[] array) {
        int length = array.length;
        fullArray(array, 0, length - 1);
    }
    
    private static boolean swapAccepted(int[] array, int start, int end) {
        for (int i = start; i < end; i++) {
            if (array[i] == array[end]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    private static void fullArray(int[] array, int cursor, int end) {
        if (cursor == end) {
            System.out.println(Arrays.toString(array));
        } else {
            for (int i = cursor; i <= end; i++) {
                if (!swapAccepted(array, cursor, i)) {
                    continue;
                }
                ArrayUtils.swap(array, cursor, i);
                fullArray(array, cursor + 1, end);
                ArrayUtils.swap(array, cursor, i); // 用于对之前交换过的数据进行还原
            }
        }
    }

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基于非递归的实现

思路分析

由于非递归的方法是基于对元素大小关系进行比较而实现的，所以这里暂时不考虑存在相同数据的情况。
在没有相同元素的情况下，任何不同顺序的序列都不可能相同。不同的序列就一定会有大有小。也就是说，我们只要对序列按照一定的大小关系，找到某一个序列的下一个序列。那从最小的一个序列找起，直到找到最大的序列为止，那么就算找到了所有的元素了。
好了，现在整体思路是清晰了。可是，要怎么找到这里说的下一个序列呢？这个下一个序列有什么性质呢？
T[i]下一个序列T[i+1]是在所有序列中比T[i]大，且相邻的序列。关于怎么找到这个元素，我们还是从一个例子来入手吧。
现在假设序列T[i] = {6, 4, 2, 8, 3, 1}，那么我们可以通过如下两步找到它的下一个序列。

看完上面的两个步骤，不知道大家有没有理解。如果不理解，那么不理解的点可能就在于替换点和被替点的寻找，以及之后为什么又要进行反转上。我们一个一个地解决问题吧。

• 替换点和被替换点的寻找。替换点是从整个序列最后一个位置开始，找到一个连续的上升的两个元素。前一个元素的index就是替换点。再从替换点开始，向后搜寻找到一个只比替换点元素大的被替换点。（如果这里你不是很理解，可以结合图形多思考思考。）
• 替换点后面子序列的反转。在上一步中，可以看到替换之后的子序列（{8, 2, 1}）是一个递减的序列，而替换点又从小元素换成 了大元素，那么与之前序列紧相邻的序列必定是{8, 2, 1}的反序列，即{1, 2, 8}。
  这样，思路已经完全梳理完了，现在就是对其的实现了。只是为了防止给定的序列不是最小的，那就需要对其进行按从小到大进行排序。

逻辑实现

public class DemoFullArray2 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {2, 3, 1, 4};
        core(array);
    }
    
    private static void core(int[] array) {
        // 先排序
        SortUtils sortUtils = new SortUtils(new QKSort()); 
        sortUtils.sort(array);
        System.out.println(Arrays.toString(array)); // 最初始的序列
        do {
            nextArray(array);
            System.out.println(Arrays.toString(array));
        } while (!isLast(array));
    }
    
    private static int[] nextArray(int[] array) {
        int length = array.length;
        // 寻找替换点
        int cursor = 0;
        for (int i = length - 1; i >= 1; i--) {
            // 找到第一个递增的元素对
            if (array[i - 1] < array[i]) {
                cursor = i - 1; // 找到替换点
                break;
            }
        }
        
        // 寻找在替换点后面的次小元素
        int biggerCursor = cursor + 1;
        for (int i = cursor + 1; i < length; i++) {
            if (array[cursor] < array[i] && array[i] < array[biggerCursor]) {
                biggerCursor = i;
            }
        }
        
        // 交换
        ArrayUtils.swap(array, cursor, biggerCursor);
        
        // 对替换点之后的序列进行反转
        reverse(array, cursor);
        
        return array;
    }
    
    private static void reverse(int[] array, int cursor) {
        int end = array.length - 1;
        for (int i = cursor + 1; i <= end; i++, end--) {
            ArrayUtils.swap(array, i, end);
        }
    }
    
    private static boolean isLast(int[] array) {
        int length = array.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            if (array[i - 1] < array[i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

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Ref

• http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7370155

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征集

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https://www.processon.com/i/56205c2ee4b0f6ed10838a6d