bzoj1036 [ZJOI2008]树的统计Count 树链剖分模板题

Posted 2020-10-05

[ZJOI2008]树的统计Count

Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

Sample Output

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

solution：

这非常明显，是一个树链剖分的模板题。
树链剖分就是把一棵树分成若干条链，分为轻链和重链，并把点映射到一个线性数列，然后用线段树维护这个序列。
对于点u，size最大的儿子称为重儿子，其他的儿子叫轻儿子。e（u，v）为重边，u到u的轻儿子的边称为轻边。重链是由重边组成的链。

性质1：u的任意轻儿子v，有size[v]<=size[u]/2
证明：假设size[v]>size[u]/2,设u的重儿子为v’.
size[v’]>=size[v]
size[v’]+size[v]>=2size[v]>size[u]矛盾

性质2：从根到任意点的路径中，轻边与重链的数量都小于等于lg n
证明：
1、假设路径只有轻边，每经过一条轻边，size至少减一半，所以最多lg n条轻边
2、每经过一条重边，size不会变大，所以1在有重边的时候仍然成立
3、连续的重边会连成重链，所以重链数<=轻边数+1

对于每一棵子树，优先搜索重儿子，每一个点的dfs序即为该点在线段树上的位置。
显然，一棵子树中的点是一个连续的区间，一条重链上的点也是一个连续的区间。
先一次dfs1算出每一个点的深度deep，重儿子son，子树大小size，父亲fa
再一次dfs2算出每一个点的w和top，w表示该点在线段树上的标号，top表示该点所在的重链的顶点。

 1 void dfs1(int u){
 2     siz[u]=1;
 3     son[u]=0;
 4     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
 5         int v=vet[i];
 6         if(v!=fa[u]){
 7             fa[v]=u;
 8             deep[v]=deep[u]+1;
 9             dfs1(v);
10             siz[u]+=siz[v];
11             if(siz[son[u]]<siz[v])
12                 son[u]=v;
13         }
14     }
15 }
16 void dfs2(int u,int tp){
17     w[u]=++num;
18     top[u]=tp;
19     if(son[u])
20         dfs2(son[u],tp);
21     for(int i=head[u];i;i=Next[i])
22         if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
23             dfs2(vet[i],vet[i]);
24 }

然后构建线段树

 1 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
 2     if(l==r){
 3         rmax[u]=sum[u]=val;
 4         return;
 5     }
 6     int mid=(l+r)>>1;
 7     if(i<=mid)
 8         insert(u+u,l,mid,i,val);
 9     else
10         insert(u+u+1,mid+1,r,i,val);
11     sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+1];
12     rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+1]);
13 }

1 for(int i=1;i<=n+n+n+n+n;i++)
2         rmax[i]=-1000000000;
3     for(int i=1;i<=n;i++){
4         int x;
5         scanf("%d",&x);
6         insert(1,1,n,w[i],x);
7     }

然后还有查询和修改
单点修改非常简单，直接用线段树的insert

 1 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
 2     if(l==r){
 3         rmax[u]=sum[u]=val;
 4         return;
 5     }
 6     int mid=(l+r)>>1;
 7     if(i<=mid)
 8         insert(u+u,l,mid,i,val);
 9     else
10         insert(u+u+1,mid+1,r,i,val);
11     sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+1];
12     rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+1]);
13 }

 

1     scanf("%s",ca);
2         int x,y;
3         scanf("%d%d",&x,&y);
4         if(ca[0]==‘C‘){
5             insert(1,1,n,w[x],y);
6         }

 

查询要分情况考虑
1、top[x]==top[y]
在同一条重链上
直接查询（x，y）区间
2、top[x]!=top[y]
向上跳一步，直到情况1
很不好解释，还是上代码

int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
    if(l==i&&r==j)
        return rmax[u];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(j<=mid)
        return query1(u+u,l,mid,i,j);
    else
    if(i>mid)
        return query1(u+u+1,mid+1,r,i,j);
    else
        return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j));
}
int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
    if(l==i&&r==j)
        return sum[u];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(j<=mid)
        return query2(u+u,l,mid,i,j);
    else
    if(i>mid)
        return query2(u+u+1,mid+1,r,i,j);
    else
        return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j);
}
while(m--){
        scanf("%s",ca);
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(ca[0]==‘C‘){
            insert(1,1,n,w[x],y);
        }
        else
        if(ca[0]==‘Q‘&&ca[1]==‘M‘){
            ans=-1000000000;
            while(top[x]!=top[y]){
                int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
                if(deep[f1]>=deep[f2]){
                    if(top[x]==x)
                        ans=max(ans,query1(1,1,n,w[x],w[x]));
                    else
                        ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f1]+1,w[x]));
                    x=f1;
                }
                else{
                    if(top[y]==y)
                        ans=max(ans,query1(1,1,n,w[y],w[y]));
                    else
                        ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f2]+1,w[y]));
                    y=f2;
                }
            }
            ans=max(ans,query1(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
            printf("%d\n",ans);
        }
        else{
            ans=0;
            while(top[x]!=top[y]){
                int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
                if(deep[f1]>=deep[f2]){
                    if(top[x]==x)
                        ans+=query2(1,1,n,w[x],w[x]);
                    else
                        ans+=query2(1,1,n,w[f1]+1,w[x]);
                    x=f1;
                }
                else{
                    if(top[y]==y)
                        ans+=query2(1,1,n,w[y],w[y]);
                    else
                        ans+=query2(1,1,n,w[f2]+1,w[y]);
                    y=f2;
                }
            }
            ans+=query2(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
            printf("%d\n",ans);
        }
    }

 

完整的ac代码

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cmath>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cstring>
  6 #include<cstdlib>
  7 using namespace std;
  8 int ans,m,n,vet[100000],head[100000],Next[100000],en,fa[100000],deep[100000],siz[100000],son[100000],top[100000],w[100000],num,sum[1000000],rmax[1000000];
  9 char ca[10];
 10 void addedge(int u,int v){
 11     vet[++en]=v;
 12     Next[en]=head[u];
 13     head[u]=en;
 14 }
 15 void dfs1(int u){
 16     siz[u]=1;
 17     son[u]=0;
 18     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
 19         int v=vet[i];
 20         if(v!=fa[u]){
 21             fa[v]=u;
 22             deep[v]=deep[u]+1;
 23             dfs1(v);
 24             siz[u]+=siz[v];
 25             if(siz[son[u]]<siz[v])
 26                 son[u]=v;
 27         }
 28     }
 29 }
 30 void dfs2(int u,int tp){
 31     w[u]=++num;
 32     top[u]=tp;
 33     if(son[u])
 34         dfs2(son[u],tp);
 35     for(int i=head[u];i;i=Next[i])
 36         if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
 37             dfs2(vet[i],vet[i]);
 38 }
 39 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
 40     if(l==r){
 41         rmax[u]=sum[u]=val;
 42         return;
 43     }
 44     int mid=(l+r)>>1;
 45     if(i<=mid)
 46         insert(u+u,l,mid,i,val);
 47     else
 48         insert(u+u+1,mid+1,r,i,val);
 49     sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+1];
 50     rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+1]);
 51 }
 52 int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
 53     if(l==i&&r==j)
 54         return rmax[u];
 55     int mid=(l+r)>>1;
 56     if(j<=mid)
 57         return query1(u+u,l,mid,i,j);
 58     else
 59     if(i>mid)
 60         return query1(u+u+1,mid+1,r,i,j);
 61     else
 62         return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j));
 63 }
 64 int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
 65     if(l==i&&r==j)
 66         return sum[u];
 67     int mid=(l+r)>>1;
 68     if(j<=mid)
 69         return query2(u+u,l,mid,i,j);
 70     else
 71     if(i>mid)
 72         return query2(u+u+1,mid+1,r,i,j);
 73     else
 74         return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j);
 75 }
 76 int main(){
 77     scanf("%d",&n);
 78     for(int i=1;i<n;i++){
 79         int x,y;
 80         scanf("%d%d",&x,&y);
 81         addedge(x,y);
 82         addedge(y,x);
 83     }
 84     deep[1]=1;
 85     dfs1(1);
 86     dfs2(1,1);
 87     for(int i=1;i<=n+n+n+n+n;i++)
 88         rmax[i]=-1000000000;
 89     for(int i=1;i<=n;i++){
 90         int x;
 91         scanf("%d",&x);
 92         insert(1,1,n,w[i],x);
 93     }
 94     scanf("%d",&m);
 95     while(m--){
 96         scanf("%s",ca);
 97         int x,y;
 98         scanf("%d%d",&x,&y);
 99         if(ca[0]==‘C‘){
100             insert(1,1,n,w[x],y);
101         }
102         else
103         if(ca[0]==‘Q‘&&ca[1]==‘M‘){
104             ans=-1000000000;
105             while(top[x]!=top[y]){
106                 int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
107                 if(deep[f1]>=deep[f2]){
108                     if(top[x]==x)
109                         ans=max(ans,query1(1,1,n,w[x],w[x]));
110                     else
111                         ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f1]+1,w[x]));
112                     x=f1;
113                 }
114                 else{
115                     if(top[y]==y)
116                         ans=max(ans,query1(1,1,n,w[y],w[y]));
117                     else
118                         ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f2]+1,w[y]));
119                     y=f2;
120                 }
121             }
122             ans=max(ans,query1(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
123             printf("%d\n",ans);
124         }
125         else{
126             ans=0;
127             while(top[x]!=top[y]){
128                 int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
129                 if(deep[f1]>=deep[f2]){
130                     if(top[x]==x)
131                         ans+=query2(1,1,n,w[x],w[x]);
132                     else
133                         ans+=query2(1,1,n,w[f1]+1,w[x]);
134                     x=f1;
135                 }
136                 else{
137                     if(top[y]==y)
138                         ans+=query2(1,1,n,w[y],w[y]);
139                     else
140                         ans+=query2(1,1,n,w[f2]+1,w[y]);
141                     y=f2;
142                 }
143             }
144             ans+=query2(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
145             printf("%d\n",ans);
146         }
147     }
148     return 0;
149 }