数位dp

Posted 2020-10-05

HDU 3555 Bomb

　　题意：

　　　　给你x，求小于等于x的所有正整数中包含49的数的个数。

　　题解：

　　　　最基础的数位dp。设solve(x)表示小于等于x的数中包含49的数的个数，则我们需要求的就是solve(r)-solve(l-1)。问题就在于如何实现solve函数。为了实现solve函数，我们需要使用一个dfs函数：dfs(x,b,lim)。返回值为满足条件的数的个数，x表示当前枚举的位数，b表示当前状态(b=2表示已经出现过49，b=1表示前一个数为4，b=0表示其他情况)，lim是最重要的一点，即当前数位的取值有没有限制。

　　　　我们举一个解释lim作用的例子，如果当前的数为5678，一开始我们调用dfs(4,0,1)，所以当前位只能最大取到5，接下来我们从0到5枚举当前位的取值，如果当前位是小于5，接下来就没有限制，因为0XXX，1XXX，2XXX，3XXX，4XXX后面的那些XXX是可以从000取到999的，并不给它加以任何限制，然而对于5XXX，下一位只能取到0到6，因为57XX就已经大于当前的数了，所以lim还是只能设为1。

　　　　接下来还有一个优化，可以发现如果lim=0，x和b相等的情况下答案是肯定相等的，而lim!=0则不一定，因为枚举的范围和当前数有关。所有我们可以用记忆化搜索的方法来优化复杂度。

　　　　接下来给出代码：　

#include<cstdio>
#include<cstring>
typedef long long ll;
ll f[20][3]; int a[20],cnt;
ll dfs(int x,int b,bool lim){
    if(x==0) return b==2; //搜到头了
    if(!lim&&f[x][b]!=-1) return f[x][b]; //记忆化搜索
    ll ans=0; int maxl=lim?a[x]:9; //maxl表示当前能枚举到的最大数
    for(int i=0;i<=maxl;++i) ans+=dfs(x-1,(b==2||(b==1&&i==9))?2:i==4,lim&&i==maxl); //注意这里的递归调用
    if(!lim) f[x][b]=ans; return ans;
}
ll solve(ll x){
    for(cnt=0;x;x/=10) a[++cnt]=x%10; //把这个数的每一位都存下来
    return dfs(cnt,0,1);
}
int main(){
    memset(f,-1,sizeof f); int t; scanf("%d",&t);
    for(ll x;scanf("%lld",&x)!=EOF;printf("%lld\n",solve(x))); return 0;
}

　　注意：

　　　　如果有多组数据，不需要每组数据都将f数组memset一遍，因为当lim等于0时，dfs函数的结果和当前数字并没有关系。

　　　　有很多数位dp题是求[l，r]中符合要求的数的个数，只要返回solve(r)-solve(l-1)就行了。