UVA11426

Posted 2020-10-04 Blogggggg

题目链接：https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2421

解题思路1：

　　思路来源于：http://www.cnblogs.com/staginner/archive/2012/10/29/2745135.html

　　今天第一次接触到需要用到欧拉函数解决的题目，看了几篇介绍欧拉函数的文章，在这里跟大家推荐两篇：

　　http://blog.csdn.net/sentimental_dog/article/details/52002608

　　http://m.blog.csdn.net/HelloWorld10086/article/details/43764639

　　接下来进入正题。我们用add(x,y)表示当i循环到x，j循环到y时能为上限为n的G（我们用G(n)表示）增加的数值。当x,y互质的时候易知add(x,y) = 1，由此我们顺藤摸瓜地知道add(2x,2y) = 2, ..., add(kx,ky) = k。根据这个结论，我们可以利用欧拉函数，求出小于z的正整数中与z互质的数的数目，把它加入ans[z]（我们用ans[z]来保存n = z时的答案。）,然后将其翻倍，一一将值加入ans[2z], ans[3z], ..., ans[kz]。最后还要记得：对于每一个ans[x]，其实还要将前面所有的ans[]累加起来。

　　end.

　　P.S. 其实Staginner大神讲的比我好一万倍，大家如果看不懂我的这篇文章可以看看最上面的那个思路来源。

AC代码1：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 const int maxn=4000000+3;
 6 ll ans[maxn],phi[maxn];
 7 void init(){
 8     for(int i=2;i<=maxn;i++)    phi[i]=0;
 9     phi[1]=1;
10     for(int i=2;i<=maxn;i++){
11         if(!phi[i]){
12             for(int j=i;j<=maxn;j+=i){
13                 if(!phi[j]) phi[j]=j;
14                 phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
15             }
16         }
17         for(int j=1;j*i<=maxn;j++){
18             ans[i*j]+=(j*phi[i]);
19         }
20     }
21     for(int i=1;i<=maxn;i++)    ans[i]+=ans[i-1];
22 }
23 int main()
24 {
25     init();
26     int n;
27     while(scanf("%d",&n)==1&&n) printf("%lld\\n",ans[n]);
28     return 0;
29 }

 

解题思路2：

　　来自刘汝佳。

　　对于 gcd(x, n) = i，gcd(x/i, n/i) = 1，即 x/i 和 n/i 互质。那么对于所有的 x<n 并且 gcd(x,n) = i 的数 x，都有 x/i 与 n/i 互质，那么只要求出不超过 n/i 且和 n/i 互质的整数的个数（这部分用欧拉 phi 函数解决）再乘上 i 即可求出所有 gcd(x,n) = i 的值。设 f[n] = gcd(1,n) + gcd(2,n) + ... + gcd(n-1,n)。则 f[n] = sum{ phi[t1]*t2 , t1=n/t2，t2 为 n 的约数}，为了方便计算，这部分用有点类似素数筛的方法来累加。

　　最后的答案就是 f[n] 的累加。

AC代码2：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=4000001+3;
 6 typedef long long ll;
 7 
 8 ll f[maxn], phi[maxn], ans[maxn];
 9 void init(){
10     for(int i=2;i<maxn;i++) phi[i]=0;
11     phi[1]=1;
12     for(int i=2;i<maxn;i++){
13         if(!phi[i]){
14             for(int j=i;j<maxn;j+=i){
15                 if(!phi[j]) phi[j]=j;
16                 phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
17             }
18         }
19     }
20 
21     for(int i=1;i<maxn;i++){
22         for(int j=2*i;j<maxn;j+=i){
23             f[j]+=i*phi[j/i];
24         }
25     }
26 
27     ans[2]=f[2];
28     for(int i=3;i<maxn;i++) ans[i]=ans[i-1]+f[i];
29 }
30 int main()
31 {
32     init();
33     int n;
34     while(scanf("%d",&n)==1&&n){
35         printf("%lld\\n",ans[n]);
36     }
37     return 0;
38 }