夏令营讲课内容整理 Day 6 Part 2.

Posted 2020-10-04

Day 6的第二部分，数论

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质

 

1.一些符号：

a mod b 代表a除以b得到的余数

a|b a是b的约数

floor(x) 代表x的下取整，即小于等于x的最大整数，也可以认为是直接舍去小数部分

(这个应该是一个符号，但我不知道怎么打出来。。下面那个ceil也是)

ceil(x) 代表x的上取整，即大于等于x的最小整数，也可以认为是直接舍去小数部分再+1.

gcd(a,b) 表示a与b的最大公约数

lcm(a,b) 表示a与b的最小公倍数

累加符号∑ 累乘符号∏

logab代表以a为底的b的对数，ln表示以e为底的对数，lg代表以10为底的对数

 

2.质数

也称素数，是质因子只有1和它本身的数。

与质数相对的是合数，合数在因数拆分时可以拆分成至少两对其他数的乘积。

特殊规定，1既不是质数也不是合数。

可以证明，素数是无限多个的，证明从略。

 

3.唯一分解定理

算术基本定理之一。

定理是这样描述的：对于每一个大于1的自然数都可以写成质数的积，而这些因子按照大小排列后，只有一种结果（写法只有一种）。

我并不会证。。。我太弱了

这个定理是分解质因数的基础。它告诉我们可以用质数乘积的形式处理一些大数字，处理一类和约数有关的问题。

显然，一个数n最多有一个大于√n的质因子。

 

4.筛法

用来快速求一个数是不是质数的算法

通常有两种筛法：埃氏筛和欧拉筛

 

4.1埃氏筛法

核心思想：从2到n枚举，当找到一个质数时，枚举它的所有倍数，这些倍数绝对不可能是质数。

int cnt;
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
void Eratosthenes(int n){
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (!vis[i]){
            prime[++cnt] = i;
            for (int j = i*2;j<=n;j+=i)
                vis[j] = 1;
        }
}

 

 

时间复杂度是O(nloglogn)，证明从略。

 

4.2欧拉筛法

核心思想是通过让每一个数只会被它最小的质因子筛到，从而每个数只会被筛一次，时间复杂度O(n)。

对于任意一个合数，我们可以拆成最小质因子*某数i的形式，我们枚举这个数i，然后再枚举出所有筛的质数。

当我们枚举的质数可以整除i时，如果再往大里枚举，枚举的质数就不可能是最小质数了。这时就可以终止循环，继续枚举下一个i。

int cnt;
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
void Eular(int n){
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!vis[i])    
            prime[++cnt] = i;
        for (int j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=n;++j){
            vis[prime[j]*i] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)
                break;
        }    
    }
}

 

 

 

5.取模

我想您应该早已熟知余数的定义。

a % b(就是a mod b)得到的结果是a除以b得到的余数。

性质:a %ｂ = floor(a/b)

一些题目要求对答案取模，如果这个答案是负的，应该加上模数而不是除。

取模的性质：

(a±b) % p = ((a % p) ± b) % p

(a*b) %ｐ＝(a % p) * (b % p)

 

6.最大公约数

辗转相除。

int gcd(int a, int b){
　　if (!b)
　　　　return a;
　　return gcd(b, a % b);
}
 

 

 

 

7.同余

这里引入一个新符号，a≡b(mod n)表示a与b在模n意义下的余数相同，称为a与b同余。

同余的性质：

1.反身性 a≡a (mod m)

2.对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)

3.传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)

4.同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d (mod m)（或换成-）

5.同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)

 

7.1逆元

如果 ax≡1(mod n)，那么x为a关于模n意义下的逆元。

逆元一般用inv简称。

当gcd(a,n) = 1时x为一唯一值，否则不存在，证明从略。

其实可以这么想，x为模n意义下的倒数，也就是1/a，我们可以类比实数意义下的倒数在模n意义下a乘以b的逆元，相当于模n意义下的a/b。

求逆元的方法，接下来讲。

 

8.扩展欧几里得算法

（借鉴了gty哥哥课件的思路）

简称扩欧，exgcd。

用来求解形似ax+by = gcd(a,b)一类方程的解。

这里的x和y不一定是正整数，有可能是负数或0.

比如说我举个例子，求一直线ax+by+c = 0上有多少个整数点(x,y)满足x∈[x1,x2]，y∈[y1,y2]

边界情况：

当b=0时，gcd(a,b)=a，x=1,y=0

假设 ax1 + by1= gcd(a,b)，bx2 + (a % b)y2= gcd(b,a % b)

由gcd的意义，知gcd(a,b) = gcd(b,a % b)，那么有ax1 + by1 = bx2+ (a % b)y2;

也就是说ax1 + by1 = bx2 + (a - [a / b] * b)y2 = ay2 + bx2 - [a / b] * by2;

也就是说ax1 + by1 == ay2+ b(x2 - [a / b] *y2);

那么，x1 = y2; y1 = x2 - [a / b] * y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2。我们可以通过不断递归调用求解。

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y){
　　if (!b) {
　　　　d = a;
　　　　x = 1;
　　　　y = 0;
　　}
　　else {
　　　　exgcd(b, a % b, d, y, x);
　　　　y -= (a / b) * x;
　　}
}

 

我们这样只能得出一组解，其他解呢？如果我们现在有解（x1,y1)，任取另外一组解(x2,y2)，则有ax1 + by1 = ax2 + by2 = gcd(a, b)，变形可以得到a(x1 – x2) = b(y2 – y1)，两边同时除以gcd(a, b)，得到a’(x1 – x2) = b’(y2 – y1)，因为(a’,b’)=1，所以(x1-x2)一定是b’的倍数，取x1-x2=kb’,得y2-y1=ka’。

所以我们有以下结论：

对方程ax+by+c=0，一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解可以写成(x0+kb’,y0-ka’),其中a’=a/gcd(a, b)，b’=b/gcd(a, b)

关于ax+by=c有没有解，我们有这么一个结论：

对于方程ax+by=c（a,b,c均为整数），如果c为gcd(a,b)的倍数，则方程有整数解，反之无整数解。因为a和b都是gcd(a,b)的倍数，所以ax+by一定也是gcd(a,b)的倍数，如果c不是gcd(a,b)的倍数，一定无解。

那刚才那道题怎么做呢？

方程变形为ax+by = -c，看一下-c是不是gcd(a,b)的倍数，然后用exgcd求一下ax+by = gcd(a,b)的解，记为(x0,y0)。

等式两边同乘(-c)/gcd(a,b)，就有ax0‘+by0‘ = -c

用刚才的结论，求出使x = x0 + kb‘落在区间[x1,x2]内的k的范围和使y = y0-ka‘落在区间[y1,y2]内的k的范围，取交集就是答案。

 

9.费马小定理

如果p是质数，并且gcd(a,p) = 1,那么 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

由这个式子我们可以知道，a关于p的逆元就是a^(p-2) % p，用快速幂就好，证明从略。

 

10.快速幂

快速幂用了一个倍增的思想，我把它放在Part 3.

 

11.排列组合

 

11.1排列

排列数指的是从n个数中任取m个元素排成有顺序的一列，这一列称为一个排列，所有排列总数称为排列数。

生成排列数：DFS 或 next_permutation

从n个元素里取m个成为排列记为A(n,m) （原谅打不出来）

A(n,m) = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * (n-m+1) = n!/m!(n-m)!

11.2组合

组合数指的是从n个数中任取m个 元素设为一组，叫做一个组合，这样所有的组合的数量就是组合数。

可以发现，排列要求元素带有顺序，而组合则不考虑顺序。

公式是C(n,m) = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * (n-m+1)/m! = n!/m!(n-m)!

组合的性质：

C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)

C(n,m) = C(n,n-m)

C(n,m) = C(n,m-1)*(n-m+1)/m (m>0)

由性质3可递推某一n确定下的组合数

 

其实排列组合这一块有很多内容，然而。。。

我觉得我讲得再多也没高中数学选修2-3讲得明白。。。。

所以，如果有没提到的地方，请参见高中数学选修2-3。。