夏令营讲课内容整理Day 1.

Posted 2020-10-01

主要内容是栈和队列。

1.  栈

运算受到限制的线性表。只允许从一端进行插入和删除等操作。这一端便是栈顶，另一端便是栈底。

其实可以把栈想象层任何有底无盖的柱状的容器。。。毕竟栈满足后进先出的特性。计算机当中调用函数时，中间结果便会保存到「系统栈」中。递归过程也需要栈的协助 。

实现：STL or 手写（请参照一本通 or 课件）

一般操作：判断栈空/满、入栈、出栈，判断栈的大小（请参照一本通 or 课件）

1.1 单调栈

顾名思义，保证内部元素单调（单增或单减）的栈。我们只要在插入新元素的时候，将栈顶所有在插入新元素后不满足单调的元素依次弹出，再插入新元素即可。

对于单调性可以这么理解：所有加入单调队列/单调栈的元素有一个「价值」和「时效性」。价值即为元素的值，时效性则为元素加入的时间。元素加入的时间越久远就越有可能失效。我们要查询在当前还没有失效的所有元素里面谁的价值最高。自然，如果一个元素加入的时间早（更有可能失效），其价值还赶不上后加入的元素，它便没有存在的必要。

本质：内部的元素从栈底到栈顶，价值越来越小，但是时效性越来越强。

应用：DP的优化。

 

例题：

T1.铁轨

（我在洛谷上找不到这题）

某城市有一个火车站，有n节车厢从A方向驶入车站，按进站顺序编号1~n。火车站只有一个入口，最外面的列车可以驶向B方向。你的任务是判断，一个输入的出站顺序，是否可能是合法的。（所谓合法指存在一种操作车厢的方法，可以得到该出栈顺序。如5 4 1 2 3是不合法的，5 4 3 2 1是合法的）

可以把火车站抽象为一个「栈」。由出栈序列倒推并和入栈序列比较。下一个出栈的车厢序号要么比已出栈的任何一节车厢的序号都大，要么比刚出栈的车厢序号小，才能满足题意。所以我们模拟这个过程，初始火车站是空栈，每次入栈，都与出栈序列进行比对，若相同则将栈顶弹出，不相同则再进一辆。用两个指针i,j分别表示当前第i节车厢已经进站，当前出站序列里面的第j节车厢已经出站。每次如果发现出站序列里面下一个要出站的车厢为当前栈顶的车厢，则让其出站，更新指针j。如果不是，则继续令后面的车厢进站，更新指针i。如果所有车厢已经进站了，但出栈序列没有完成（有车厢滞留了），则所给的出栈序列不是合法的。反之则合法。

 

 

T2.等价表达式

luoguP1054。

关于a的表达式变化无常，我们无法对其进行合并同类项。可以考虑特殊值法，但最好不要使用0,1，-1这样的数，这会导致冲突。可以代一些质数去判断两个表达式是否相等。而且要多代几个，也是为了降低冲突产生的概率。（数值法解决问题）

考虑到数据量极大，可能会爆long long。然而这道题使用高精度显然是不现实的，那么怎么办呢？我们考虑计算的时候去模一个你喜欢的质数 ，这样就好很多了。

具体实现方法：双栈。一个是数字栈，一个是符号栈。读入过程比较麻烦，建议寻找网上 题解参考。每当读入数字时压入数字栈，读入符号时要判断。如果是运算符，当前栈顶的运算符优先级大于等于新运算符，则将栈顶运算符弹出，并将当前数字栈顶的两个数进行相应运算，弹出旧数，压入新结果。不停循环，直到栈里面没有符号或符号优先级低于当前新运算符。如果是(，直接压入栈。如果是），则依次将栈里面的符号弹出，并计算。直到遇到一个（。

其实计算方法可以参照一道中缀表达式求值的问题，可以去网上搜一下。

小技巧：可以在表达式开头和结尾分别加一个括号，避免边界的特殊处理。

 

T3.全排列

全排列大部分情况下都是人工dfs或者algorithm头文件下的next_permutation来实现的。用栈也可以实现，但是几乎没多少人用。基于实用主义的角度，这里不再叙述。

 

 

2. 队列

队列也是一种运算受限的线性表。特殊之处在于它的查询和删除操作在队头，而插入操作在队尾（就像日常打饭排队那样）。

队列满足先进先出的特性。（明明是我先来的我应该先出去

队列广泛应用于各种BFS。

实现：实现：STL or 手写（请参照一本通 or 课件）

一般操作：判断队列空/满、入队、出队，判断队列的大小（请参照一本通 or 课件）

 

2.1 循环队列

一般手写队列存在空间浪费现象，对队首元素进行弹出操作之后，这块内存将无法再次被利用。在一些对于内存要求比较紧张的题目中，可以考虑使用循环队列。

（STL的一般队列就是循环队列，速度的话肯定要比手写慢一点，但是方便啊是不是）

（其实实际上没多少人用

当我们的队首或者队尾指针变成队列大小的最大值的时候，将其对这个最大值取模变为0。这样就实现了让队列首尾相接，不断循环。（具体代码可以去看数据结构基础班的课件）

2.2 双端队列（deque）

顾名思义，这样的队列支持在两端进行插入和删除操作。仅需在手写一般队列的代码上稍加改进即可。但是，千万不要用STL里的deque，那玩意慢的要死。所以如果你真的遇到一道题非得要双端队列做不可，那就老老实实的手写吧。。。

2.3 单调队列

定义类似单调栈。

 

例题：

T1.课程学习（？）拓扑序列

（我在luogu上找不到这题）

给定一张有向无环图（DAG），来描述某大学之间课程的联系。如果A到B有一条边，说明在学习课程B之前，必须要学习课程A。请找到一条合法的学习课程的序列，满足题目要求。所谓一张有向无环图（DAG）的拓扑序列，即为一个点的序列，满足对任意一条边(u,v)，u都出现在v的前面。其实说白点，这个拓扑序列就是说按照一个从小到大的顺序把边排下序，保证前边的点一定要在后边的点的前面 。。。呃这样说可能比较抽象，如果感到理解困难就去看看课件吧。。

拓扑排序是一种类似BFS的方法。对于这个题来说，既然我们前边的点一定要在后边的点的前面，那么我们要找的第一个节点应该是入度为0的点，我们就枚举每个点，如果入度为0就放入队列中。顺序是无所谓的，拓扑排序大多情况下结果是不唯一的。然后我们取出队首节点进行扩展，将所有连接到的点入度-1.为什么不直接放入队列呢？因为可能有一些点有很多其他点相连，也就是有些课程需要的先修课不止一节。遍历完后把所有入度被更新为0的节点放入队列。继续过程直到队列空。在取出队首节点时输出这个节点，那么算法执行完毕后输出的结果就是拓扑排序的结果。