51nod 1257 01分数规划/二分

Posted 2020-10-04 zzq

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1257

1257 背包问题 V3

基准时间限制：3 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

收藏

关注

N个物品的体积为W1，W2......Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2......Pn（Pi为整数），从中选出K件物品（K <= N)，使得单位体积的价值最大。

Input

第1行：包括2个数N, K(1 <= K <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行2个数Wi, Pi（1 <= Wi, Pi <= 50000)

Output

输出单位体积的价值（用约分后的分数表示）。

Input示例

3 2
2 2
5 3
2 1

Output示例

3/4
  第一次写分数规划，感觉就是数学真神奇- -
  假设我们已知选了k件，他们的单位价值就是 x = ∑(pi) / ∑(wi) , 分解一下得到 ∑(pi) - x*∑(wi) = 0 ,对于所有合法的x这个式子肯定成立，所以对于max {x}也是，
我们有 ∑(pi) - x1*∑(wi) = 0 , 如果 x1==max(x) ,显然x1就是最大值 ； 如果x1<max(x)则他不是最优解 ； 如果x1>max(x) 这个式子<0说明不合法。
只要二分一下x的值就好了，为了使得x尽量合法显然我们将所有的 pi-x*wi排序之后优先选择较大的即可。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 #define LL long long 
 7 int W[50005], P[50005];
 8 struct node { double d;int u; }D[50005];
 9 bool cmp(node A, node B) { return A.d < B.d; }
10 int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); }
11 bool ok(double x, int N, int K, int &a, int &b)
12 {
13     for (int i = 1;i <= N;++i) {
14         D[i].d = 1.0*P[i] - x*W[i];
15         D[i].u = i;
16     }
17     sort(D + 1, D + 1 + N,cmp);
18     double s = 0; int w1 = 0, p1 = 0;
19     for (int i = N;i > N - K;i--) {
20         s += D[i].d;
21         w1 += W[D[i].u];
22         p1 += P[D[i].u];
23     }
24     if (s >= 0) {
25         int y = gcd(w1, p1);
26         a = w1 / y;
27         b = p1 / y;
28     }
29     return s >= 0;
30 }
31 int main()
32 {
33     int N, K, i, j, k;
34     cin >> N >> K;
35     for (i = 1;i <= N;++i)
36     {
37         scanf("%d%d", W + i, P + i);
38     }
39     double l = 0, r = 50000;
40     int w,p;
41     while (r - l >= 1e-8) {
42         double mid = r - (r - l) / 2;
43         if (ok(mid,N,K,w,p)) {
44             l = mid;
45         }
46         else {
47             r = mid;
48         }
49     }//cout << l << endl;
50     printf("%d/%d\n",p,w);
51     return 0;
52 }