[清华集训2014]奇数国

Posted 2020-10-03 Mrsrz

题目：BZOJ3813、UOJ#38。

题目大意：某国家有100000个银行，初始每个银行只有3块钱。有两个操作：①修改某个银行存的钱；②求某段区间内所有钱的“总和”的欧拉函数值。

这些钱数的质因子只会包含前60个质数，这个国家的加法相当于我们的乘法（什么奇怪的国家(￣_,￣ )）。

解题思路：原题对第②种操作的描述是，总和为product，让你求编号1~product内，多少数number满足$number·x+product·y=1$。

我们将其转化为$number·x\equiv 1(mod\ product)$，要使这个同余方程有解，当且仅当number和product互质。

那么这个问题就转化为[1,product]里与product互质的数有多少个，即$\varphi(product)$。

然后利用公式$\varphi(n)=n*\prod_{i}(1-\frac{1}{p_i})=n*\prod_{i}\frac{p_i-1}{p_i}$求解即可。

区间维护，显然用线段树，那么还要保存每段出现的质因子怎么办？由于最多出现60个质数，我们用一个long long的每一位表示一个质数，然后用或运算(or,|)即可实现相乘操作。

然后它又要模一个19961993，所以求欧拉函数时要用到这60个质数的逆元，而19961993是个质数，我们线性推一波逆元即可。

概括算法为：线段树+位运算+数论。

所以总时间复杂度为$O(t\log (100000+60))$。

这道那么玄妙的题目居然被我1A了，有点不可思议(⊙o⊙)

C++ Code：

#include<cstdio>
using namespace std;
#define mo 19961993
const int prime[61]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,
31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,
127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,
179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,
233,239,241,251,257,263,269,271,277,281};//60个素数 
int inv[300];
struct node{
	long long s,p;//s表示区间乘积，p储存该乘积包含哪些素数，第i个二进制位为1表示包含第i个素数（从1开始） 
}d[400004],ans;
void bt(int l,int r,int o){//建树 
	if(l==r){
		d[o].s=3;
		d[o].p=2;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	bt(l,mid,o<<1);
	bt(mid+1,r,o<<1|1);
	d[o].s=d[o<<1].s*d[o<<1|1].s%mo;
	d[o].p=2;
}
void change(int l,int r,int o,const int t,const int k){//单点修改 
	if(l==r){
		d[o].s=k;
		long long p=0;
		for(int i=1;i<=60;++i){
			if(!(k%prime[i]))p|=1LL<<(i-1);
		}
		d[o].p=p;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(t<=mid)change(l,mid,o<<1,t,k);else
	change(mid+1,r,o<<1|1,t,k);
	d[o].s=d[o<<1].s*d[o<<1|1].s%mo;
	d[o].p=d[o<<1].p|d[o<<1|1].p;
}
void query(int l,int r,int o,int L,int R){//查询 
	if(L<=l&&r<=R){
		ans.s=ans.s*d[o].s%mo;
		ans.p|=d[o].p;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(L<=mid)query(l,mid,o<<1,L,R);
	if(mid<R)query(mid+1,r,o<<1|1,L,R);
}
int main(){
	bt(1,100000,1);
	int t;
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=281;++i)
	inv[i]=(long long)(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;//线性推逆元 
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		if(x){
			int t,k;
			scanf("%d%d",&t,&k);
			change(1,100000,1,t,k);
		}else{
			int L,R;
			ans.s=1;
			ans.p=0;
			scanf("%d%d",&L,&R);
			query(1,100000,1,L,R);
			long long f=ans.s;
			for(int i=1;i<=60;++i)
			if(ans.p&(1LL<<(i-1))){//计算欧拉函数值 
				f=f*(prime[i]-1)%mo;
				f=f*inv[prime[i]]%mo;
			}
			printf("%d\n",(int)f);
		}
	}
	return 0;
}