BZOJ2339[HNOI2011]卡农 组合数+容斥

Posted 2020-10-02 CQzhangyu

【BZOJ2339】[HNOI2011]卡农

题解：虽然集合具有无序性，但是为了方便，我们先考虑有序的情况，最后将答案除以m!即可。

考虑DP。如果我们已经知道了前m-1个集合，那么第m个集合已经是确定的了。因为内层集合的n个元素可以随便出现，那么总数就是A(2^n-1,m-1)。但是可能存在不合法的情况。

1.在前m-1个集合中，n个数出现的次数已经都是偶数了，那么第m个集合为空，不合法，此时方案数为f[m-1]。
2.第m个集合与之前某个集合相同，那么我们不考虑这两个集合，剩下的方案数为f[i-2]；该集合可能是第1...m-1个；该集合可能有2^n-1-(m-2)中情况。所以方案数为f[i-2]*(m-1)*(2^n-1-(m-2))

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=100000007;
ll n,m,n2,c,m1;
ll ine[1000010],f[1000010];
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	ll i;
	ine[1]=1;
	for(i=2;i<=m;i++)	ine[i]=(mod-(mod/i)*ine[mod%i]%mod)%mod;
	for(n2=i=1;i<=n;i++)	n2=(n2<<1)%mod;
	n2=(n2-1+mod)%mod,c=1,f[0]=1,f[1]=0,m1=1;
	for(i=2;i<=m;i++)
	{
		c=c*(n2-i+2)%mod,m1=m1*ine[i]%mod;
		f[i]=((c-f[i-1]-f[i-2]*(n2-i+2)%mod*(i-1))%mod+mod)%mod;
	}
	printf("%lld",f[m]*m1%mod);
	return 0;
}