[XSY 1543] Crash的数列 找规律

Posted 2020-10-02

题意

　　一个序列形如 {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, ...} , $a_i = \sum_{j}[a_j = i]$ .

　　给定 $n$ , 求 $a_n$ .

　　$n \le {10} ^ {18}$ .

 

分析

　　打表找规律.

　　一阶: 第 $i$ 项为 $a_i$ .

　　二阶: $i$ 有 $a_i$ 项.

　　三阶: 出现次数为 $i$ 的有 $a_i$ 项.

　　发现利用三阶的性质可以在 $O(\sqrt[3]{n})$ 直接求解.

 

实现

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cctype>
 5 #define F(i, a, b) for (register int i = (a); i <= (b); i++)
 6 #define LL long long
 7 
 8 const int N = 12000000;
 9 
10 LL a[N+5];
11 
12 int main(void) {
13     #ifndef ONLINE_JUDGE
14         freopen("crash.in", "r", stdin);
15     #endif
16     
17     int tot = 0;
18     a[++tot] = 1, a[++tot] = 2, a[++tot] = 2;
19     for (int w = 3; w <= N && tot <= N; w++)
20         for (int i = 1; i <= a[w] && tot <= N; i++)
21             a[++tot] = w;
22             
23     LL n; scanf("%lld", &n);
24     LL res = 0, cnt = 0;
25     for (int t = 1; t <= N; t++) {
26         LL _res = res + t * a[t];
27         if (res < n && n <= _res) {
28             printf("%lld\n", cnt + (n - res - 1) / t + 1);
29             return 0;
30         }
31         res = _res, cnt += a[t];
32     }
33     
34     return 0;
35 }