[填坑]树上差分 例题：[JLOI2014]松鼠的新家（LCA）

Posted 2020-10-02

今天算是把LCA这个坑填上了一点点，又复习（其实是预习）了一下树上差分。其实普通的差分我还是会的，树上的嘛，也是懂原理的就是没怎么打过。

我们先来把树上差分能做到的看一下：

1.找所有路径公共覆盖的边

例题：[NOIP2015]运输计划 （然而我还没过就先不讲了）

反正就是中间有一步要求一条边被所有计划公共覆盖。

那么怎么求它呢？暴力（滚粗）。我们有一个非常好的方法就是树上差分（记录tmp为差分数组）

询问操作为从叶子节点的权值向上累加到root

在一条路径u→ v，如果tmp[u]++，那么我们往上推的时候相当于u到root所有路径都被访问一次。同理tmp[v]++也意味如此。但是，lca(u,v)到root的路径都没有被访问过，但这里都被标记过两次，所以我们还要做的操作就是tmp[lca(u,v)]-=2；这样的话累加完之后tmp[i]记录的就是i节点被多少条路径覆盖了。

2.将路径上的所有点权值+1，最后求点权

例题：[JLOI2014]松鼠的新家 （这个我做过了hhh）

题目大意就是给你一些路径，把这个路径经过的点权+1，最后求所有点权。

这个题今天卡了我了。同学大佬有拿树剖求的，而且还要差分。但是我对于树上差分有点蒙蔽，于是搜了搜。然而蒟蒻的我搜到了LCA解法，于是兴高采烈的打（chao）了（le）出来。这里的差分有一些不同。因为我们要找的是点的覆盖。所以我们对于u→ v，tmp[u]++，tmp[v]++，tmp[lca(u,v)]--，tmp[fa[lca(u,v)]]--；这个想必大家能看懂吧。

于是，我们就欢快的求出了所有点被修改后的权值。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#define pos(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
using namespace std;
#define N 301000
struct haha{
    int next,to;
}edge[N*2];
int head[N],cnt=1,p[N][20];
void add(int u,int v){
    edge[cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;
}
int a[N],n,fa[N],dep[N];
void dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
        int to=edge[i].to;
        if(fa[x]!=to){
            fa[to]=x;dep[to]=dep[x]+1;
            dfs(to);
        }
    }
}
void init(){
    int j;
    for(j=0;(1<<j)<=n;j++){
        pos(i,1,n) p[i][j]=-1;
    }
    pos(i,1,n){
        p[i][0]=fa[i];
    }
    for(j=1;(1<<j)<=n;j++){
        pos(i,1,n){
            if(p[i][j-1]!=-1){
                p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
            }
        }
    }
}
int lca(int a,int b){
    int i;
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
    for(i=0;(1<<i)<=dep[a];i++);
    i--;
    for(int j=i;j>=0;j--)
        if(dep[a]-(1<<j)>=dep[b])
            a=p[a][j];
    if(a==b) return a;
    for(int j=i;j>=0;j--){
        if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j]){
            a=p[a][j];b=p[b][j];
        }
    }
    return fa[a];
}
int tmp[N];
void work(int x){
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
        int to=edge[i].to;
        if(fa[x]!=to){
            work(to);
            tmp[x]+=tmp[to];
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    pos(i,1,n)
        scanf("%d",&a[i]);
    pos(i,1,n-1){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs(a[1]);
    init();
    pos(i,1,n-1){
        int u=a[i],v=a[i+1];
        tmp[u]++;tmp[v]++;
        tmp[lca(u,v)]--;tmp[fa[lca(u,v)]]--;
    }
    work(a[1]);
    pos(i,2,n) tmp[a[i]]--;
    pos(i,1,n) printf("%d\n",tmp[i]);
    return 0;
}