树状数组求逆序对

Posted 2020-10-01

我们知道,求逆序对最典型的方法就是归并排序，但是还有一种方法就是树状数组。假如你理解了树状数组，树状数组求逆序对相比归并排序排序要更好理解一些，而且树状数组的代码量也要少一些。

我们先看一下逆序对是什么吧。

　　逆序对就是序列a中ai>aj且i<j的有序对。

　根据上面的定义我们很快的就可以写出O(n^2)的算法，即枚举j，再枚举所有小于j的i，统计ai>aj的数量。但这个算法当时间复杂度过高。

　如果我们能快速的统计出ai>aj的数量，时间复杂度就可以得到很好的提升。

树状数组就可以很好的做到这一点。

我们可以先开一个大小为a的最大值的数组t，每当读入一个数时，我们可以用桶排序的思想，将t[a[i]]加上1,然后我们统计t[1]~t[a[i]]的和ans，ans - 1（除掉这个数本身）就是在这个数前面有多少个数比它小。我们只要用i-ans就可以得出前面有多少数比它大，也就是逆序对的数量。

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x)&(-x)
using namespace std;

const int maxn = 1e6+10;
int t[maxn],n,result;

void add(int x)
{
    while(x<=maxn)
    {
        t[x]++;
        x += lowbit(x);
    }
}

int query(int x)
{
    int ans=0;
    for (;x;x-=lowbit(x))
        ans+=t[x];
    return ans;
}

int main()
{
    int temp;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&temp);
        add(temp);
        result += i - query(temp);
    }
    printf("%d\n",result);
    return 0;
}

 

现在这个代码可以在数的最大值比较小的时候可以正确的得出答案，如果数据很大，这回造成我们要开的空间很大。

我们是否可以适当的减少空间的需求呢？我们看看下面这些数：

1 2 3 4 5 10

这6个数我们需要使用大小10的数组来存储，我们仔细想想，可以发现中间 6 7 8 9 这4个位置是没有用到的，也就是说这4个空间被浪费了。怎样减少这样的浪费呢？

我们可以在读完数数据后对他进行从小到大排序，我们用排完序的数组的下标来进行运算。这样可以保证小的数依旧小，大的数依旧大。这一步叫做离散化。

struct Node
{
    int v;//数字本身
    int order;//原序列的的下标
}a[500005];

int reflect[500005];//用来存储原数第i个数的order下标是什么

//计算relect数组
relect[a[i].order] = i;

以上就是离散化的核心部分代码。

完整程序

代码来自：http://blog.csdn.net/SeasonJoe/article/details/50193789?locationNum=15&fps=1

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn= 500005;
int aa[maxn];//离散化后的数组
int c[maxn]; //树状数组
int n;

struct Node
{
    int v;
    int order;
}a[maxn];

bool cmp(Node a, Node b)
{
    return a.v < b.v;
}

int lowbit(int k)
{
    return k&(-k); //基本的lowbit函数 
}

void update(int t, int value)
{     //即一开始都为0，一个个往上加（+1），
    int i;
    for (i = t; i <= n; i += lowbit(i))
        c[i] += value;  
}

int getsum(int t)
{  //即就是求和函数，求前面和多少就是小于它的个数
    int i, sum = 0;
    for (i = t; i >= 1; i -= lowbit(i))
        sum += c[i];
    return sum;
}

int main()
{
    int i;
    while (scanf("%d", &n), n)
    {
        for (i = 1; i <= n; i++) //离散化
        {
            scanf("%d", &a[i].v);
            a[i].order = i;
        }
        sort(a + 1, a + n + 1,cmp);//从1到n排序,cmp容易忘
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for (i = 1; i <= n; i++)
            aa[a[i].order] = i;
        __int64 ans = 0;
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
            update(aa[i], 1);
            ans += i - getsum(aa[i]); //减去小于的数即为大于的数即为逆序数
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}