关于两数的最大公约数gcd

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于两数的最大公约数gcd相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

        深根半夜里研究C++的语法,在弄到关于函数的定义 这一部分时突然想写个试试,就拿比较熟悉的gcd来好了。

        活这么久gcd一直是用辗转相除法(或者说欧几里得算法)得出的,根据《算法导论》第三版的中文页码P547给出的伪代码,很容易就得出C++的写法。

int gcd(int a,int b){
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a % B);
}

        However----

        当a,b比较大的时候显得特别慢,所以出现了来自《九章算术》中的更相减损术来求gcd。(怕是活久见的实例。。。)

        更相减损术的代码如下:

int gcd(int a,int b){
    if(a==b)
        return a;
    else
        if(a<b)
            return gcd(b-a,a);
        else
            return gcd(a-b,b);
}

  换句话说,其原理可以被称为“辗转相减法”【笑】。根据gcd(a,b)=gcd(|a-b|,min(a,b)),然后设定一下边界(即两个相等的数,其gcd值为本身),就有了。具体证明不知道【喂太草率了吧!!】,反正没问题可以用就是了。

        But----

        当|a-b|比较大的时候,很明显递归次数比较多,这不是想要的结果。再看一遍原文:

可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。

        好了,【作为一名文科生恬不知耻地笑了】其实原文的目的是为了约分,“可半者半之”就是说能约2就约2,然后不能约2了再找gcd约分。

        所以分类讨论一下:

  • 两数皆偶:美滋滋,易有gcd(a,b)=2×gcd(a÷2,b÷2)
  • 一奇一偶:只要想象一下类似约分一个分数like 9÷30,很显然有gcd(a,b)=gcd(a,b÷2),因为偶数除以2只是排除掉了一个因子2,而2又不可能是奇数的因子,所以可以得到这个等式成立
  • 两数皆奇:那怎么办呐?【笑】有小学奥数可知在整数范围内,奇数-奇数=偶数。所以跑一次“辗转相减法”以后,问题就转化为了上一种情况

      所以ok,final版本的gcd就出来了,大半夜的写错了别打我啊。。。

int gcd(int a,int b){
    if(a==b)
        return a;
    else
        switch (check(a,b)){
            case 0:return 2*gcd(a/2,b/2);break;
            case 1:return gcd(a,b/2);break;
            case 2:return gcd(a/2,b);break;
            case 3:return gcd(abs(a-b),min(a,b));break;
        }
}

  有必要说明一下的是check函数检验的是将要参与gcd运算的两数的奇偶性,0就是同偶,1和2都是一奇一偶只不过位置有区别,3就是同奇的情况;abs是绝对值函数,min则返回两数间较小的一个。

以上是关于关于两数的最大公约数gcd的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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