关于两数的最大公约数gcd

Posted 2020-10-01

        深根半夜里研究C++的语法，在弄到关于函数的定义 这一部分时突然想写个试试，就拿比较熟悉的gcd来好了。

        活这么久gcd一直是用辗转相除法（或者说欧几里得算法）得出的，根据《算法导论》第三版的中文页码P547给出的伪代码，很容易就得出C++的写法。

int gcd(int a,int b){
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a % B);
}

        However----

        当a,b比较大的时候显得特别慢，所以出现了来自《九章算术》中的更相减损术来求gcd。（怕是活久见的实例。。。）

        更相减损术的代码如下：

int gcd(int a,int b){
    if(a==b)
        return a;
    else
        if(a<b)
            return gcd(b-a,a);
        else
            return gcd(a-b,b);
}

　　换句话说，其原理可以被称为“辗转相减法”【笑】。根据gcd(a,b)=gcd(|a-b|,min(a,b))，然后设定一下边界（即两个相等的数，其gcd值为本身），就有了。具体证明不知道【喂太草率了吧！！】，反正没问题可以用就是了。

        But----

        当|a-b|比较大的时候，很明显递归次数比较多，这不是想要的结果。再看一遍原文：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

        好了，【作为一名文科生恬不知耻地笑了】其实原文的目的是为了约分，“可半者半之”就是说能约2就约2，然后不能约2了再找gcd约分。

        所以分类讨论一下：

• 两数皆偶：美滋滋，易有gcd(a,b)=2×gcd(a÷2,b÷2)
• 一奇一偶：只要想象一下类似约分一个分数like 9÷30，很显然有gcd(a,b)=gcd(a,b÷2)，因为偶数除以2只是排除掉了一个因子2，而2又不可能是奇数的因子，所以可以得到这个等式成立
• 两数皆奇：那怎么办呐？【笑】有小学奥数可知在整数范围内，奇数-奇数=偶数。所以跑一次“辗转相减法”以后，问题就转化为了上一种情况

      所以ok，final版本的gcd就出来了，大半夜的写错了别打我啊。。。

int gcd(int a,int b){
    if(a==b)
        return a;
    else
        switch (check(a,b)){
            case 0:return 2*gcd(a/2,b/2);break;
            case 1:return gcd(a,b/2);break;
            case 2:return gcd(a/2,b);break;
            case 3:return gcd(abs(a-b),min(a,b));break;
        }
}

　　有必要说明一下的是check函数检验的是将要参与gcd运算的两数的奇偶性，0就是同偶，1和2都是一奇一偶只不过位置有区别，3就是同奇的情况；abs是绝对值函数，min则返回两数间较小的一个。