bzoj 2095: [Poi2010]Bridges（二分法+混合图的欧拉回路）

Posted 2020-06-27

 

【题意】

 

    给定n点m边的无向图，对于边u,v，从u到v边权为c，从v到u的边权为d，问能够经过每条边一次且仅一次的最小权值和。

 

【思路】

 

    二分答案mid，然后切断权值大于mid的边，原图就变成了一个既有无向边又有有向边的混合图，则问题转化为求混合图上是否存在一个欧拉回路。

       无向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点度数都为偶数且图连通。

     有向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点入度等于初度且图连通。

    一条边仅经过一次，所以无向边最终的归属就是有向边，即我们要给无向边定向使存在欧拉回路。 

先将无向边随便确定一个方向然后计算出入度in和出度out，当x=abs(in-out)为奇数时不存在欧拉回路，因为不论如何定向都不满足入度与出度相等。

构图：对于随便定向的无向边(u，v)，添加一条(v,u,1)的边代表可以反悔一次添加一条v->u的边，如果入度>出度，由源点S连边(S,i,x/2)，如果初度>入度，则连边(i,T,x/2)，分别表示应该反悔x/2次增加出度/入度边。

　 跑一次最大流，当网络满载时mid可行。

 

【代码】

 

  1 #include<set>
  2 #include<cmath>
  3 #include<queue>
  4 #include<vector>
  5 #include<cstdio>
  6 #include<cstring>
  7 #include<iostream>
  8 #include<algorithm>
  9 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 10 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 11 using namespace std;
 12 
 13 typedef long long ll;
 14 const int N = 2e3+10;
 15 const int inf = 1e9;
 16 
 17 ll read() {
 18     char c=getchar();
 19     ll f=1,x=0;
 20     while(!isdigit(c)) {
 21         if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();
 22     }
 23     while(isdigit(c))
 24         x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
 25     return x*f;
 26 }
 27 
 28 struct Edge {
 29     int u,v,cap,flow;
 30 };
 31 struct Dinic {
 32     int n,m,s,t;
 33     int d[N],cur[N],vis[N];
 34     vector<int> g[N];
 35     vector<Edge> es;
 36     queue<int> q;
 37     void init(int n) {
 38         this->n=n;
 39         es.clear();
 40         FOR(i,0,n) g[i].clear();
 41     }
 42     void AddEdge(int u,int v,int w) {
 43         es.push_back((Edge){u,v,w,0});
 44         es.push_back((Edge){v,u,0,0});
 45         m=es.size();
 46         g[u].push_back(m-2);
 47         g[v].push_back(m-1);
 48     }
 49     int bfs() {
 50         memset(vis,0,sizeof(vis));
 51         q.push(s); d[s]=0; vis[s]=1;
 52         while(!q.empty()) {
 53             int u=q.front(); q.pop();
 54             FOR(i,0,(int)g[u].size()-1) {
 55                 Edge& e=es[g[u][i]];
 56                 int v=e.v;
 57                 if(!vis[v]&&e.cap>e.flow) {
 58                     vis[v]=1;
 59                     d[v]=d[u]+1;
 60                     q.push(v);
 61                 }
 62             }
 63         }
 64         return vis[t];
 65     }
 66     int dfs(int u,int a) {
 67         if(u==t||!a) return a;
 68         int flow=0,f;
 69         for(int& i=cur[u];i<g[u].size();i++) {
 70             Edge& e=es[g[u][i]];
 71             int v=e.v;
 72             if(d[v]==d[u]+1&&(f=dfs(v,min(a,e.cap-e.flow)))>0) {
 73                 e.flow+=f; 
 74                 es[g[u][i]^1].flow-=f;
 75                 flow+=f; a-=f;
 76                 if(!a) break;
 77             }
 78         }
 79         return flow;
 80     }
 81     int MaxFlow(int s,int t) {
 82         this->s=s,this->t=t;
 83         int flow=0;
 84         while(bfs()) {
 85             memset(cur,0,sizeof(cur));
 86             flow+=dfs(s,inf);
 87         }
 88         return flow;
 89     }
 90 } dc;
 91 
 92 int n,m,S,T,u[N],v[N],c[N],d[N],in[N],out[N];
 93 
 94 int can(int M)
 95 {
 96     memset(in,0,sizeof(in));
 97     memset(out,0,sizeof(out));
 98     dc.init(n+2);
 99     int sum=0,x;
100     FOR(i,1,m) {
101         if(c[i]<=M) out[u[i]]++,in[v[i]]++;
102         if(d[i]<=M) dc.AddEdge(v[i],u[i],1);
103     }
104     FOR(i,1,n) if(abs(in[i]-out[i])&1) return 0;
105     FOR(i,1,n) {
106         x=in[i]-out[i];
107         sum+=x>0?x>>1:0;
108         if(x>0) dc.AddEdge(S,i,x>>1);
109         if(x<0) dc.AddEdge(i,T,(-x)>>1);
110     }
111     return dc.MaxFlow(S,T)==sum;
112 }
113 int main()
114 {
115     n=read(),m=read();
116     S=0,T=n+1;
117     int L=inf,R=0;
118     FOR(i,1,m) {
119         u[i]=read(),v[i]=read(),c[i]=read(),d[i]=read();
120         if(c[i]>d[i]) swap(c[i],d[i]),swap(u[i],v[i]);
121         L=min(L,c[i]),R=max(R,d[i]);
122     }
123     while(L<R) {
124         int M=L+(R-L)/2;
125         if(can(M)) R=M; else L=M+1;
126     }
127     if(!can(L)) puts("NIE"); else printf("%d",L);
128     return 0;
129 }