树状数组 小白篇

Posted 2020-09-29 叫我彪哥

身为一名弱省oier中的mengbier，简单讲一下我是怎么学会基础的树状数组的

不算华丽的分割线

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• 树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。
• 其发明者命名为Fenwick树，最早由Peter M. Fenwick于1994年以《A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables》为题发表在 “SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE” 。

1. 主要用于查询任意一段数据中的所有元素之和。
2. 经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改。

 

 也就是说你通过一系列神奇的操作可以实现在一个数列{an}中，修改其中一项ax的值（还可以是一段），并求出{an}前n项和（也可以是任意一段）。

额妹子！！！对不对？

 

我们知道 “树状数组” 这个名词的定语是 “树状” ，它只是用来修饰数组的对不对？

所以 “树状数组” 就是一串有特异功能的数组！

举个例子：

　　　　　　正常的一个数组{an}：a[1]=1, a[2]=2, a[3]=3, a[4]=4, a[5]=5, a[6]=6 ,a[7]=7, a[8]=8, a[9]=9

　　　　　　　　　　　　　　　　你要得到第n个数，就直接用a[n]来表示吧（废话）

　　　　　　　　　　　　　　　　但你要算前x项和{sn}的话，就只能从a[1]一项一项加到a[x], 显然当需要大量计算{sn}时，这种方法非常耗时！！！

　　　　　　　　　　　　　　　　于是机智的你想到了先计算出每一个sn来，但是当{an}需要修改怎么办？

　　　　　　　　　　　　　　　　难道要每一个有关的sn都修改吗？

　　　　　　于是大佬们YY出了树状数组

　　　　　　神奇的数组{cn}： c[1]=1, c[2]=3, c[3]=3, c[4]=10, c[5]=5, c[6]=11, c[7]=7, c[8]=36, c[9]=9

　　　　　　　　　　　　　　我说{cn}里能表达{an}所有信息，你信不信？

　　　　　　　　　　神出鬼没的分界线

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　　　　　　　　设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。这个区间最后一个元素为Ax，

　　　　　　　　所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

　　　　　　　　也就是说例如:  

　　　　　　　　　　　　　　c[1], 1的二进制数为1，k=0，它就管长度为2^0的区间的和，暨c[1]=a[1]

　　　　　　　　　　　　　　c[2], 2的二进制数为10，k=1，它就管长度为2^1的区间的和，暨c[2]=a[1]+a[2]

　　　　　　　　　　　　　　c[4], 4的二进制数为100，k=2，它就管长度为2^2的区间的和，暨c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

　　　　　　　　　　　　　　c[6], 6的二进制数为110，k=1，它就管长度为2^1的区间的和，暨c[6]=a[5]+a[6]

　　　　　　　　　　　　　　c[9], 9的二进制数为1001，k=0，它就管长度为2^0的区间的和，暨c[9]=a[9]

　　　　　　　　　　　　　　强烈建议读者用纸笔模拟一遍！！！

　　　　　　　　有一个函数可以简单的计算出这个2^k

　　　　　　　　

1 int lowbit(int x)
2 {
3     return x&-x;
4 }

　　　　　　　　不信就用笔算一算

　　　　　　　　那我现在要求前n项和怎么办？

　　　　　　　　那就从c[n]开始，不重复的加完数据！

　　　　　　　　例如：

　　　　　　　　　　　　我要求前6项和，那就从c[6]开始加，发现c[6]已经代表了2项，加完c[6]，就加c[6-2]，加c[4]的值，发现c[4]代表了4项，此时就加完前6项

　　　　　　　　还是看代码吧

 1 int sum(int n)
 2 {
 3      int ans=0;
 4      while(n>0)
 5      {
 6               ans+=c[n];
 7               n-=lowbit(n);　　　　//加完了该项能表示的数，就加还没表达到的数
 8      }
 9      
10      return ans;        
11 }

 

 　　　　　　那要改一项的值就要改{cn}中每个有关的项

1 void add(int x,int v)    //x位置加v
2 {
3      while(x<=n)        //n为边界，一共有多少个数
4      {
5                  c[x]+=v;
6                  x+=lowbit(x);     //下一个可以管辖该点的数组下标
7      }
8 }        

 

 

那从a[x]+a[x+1]+a[x+2]+……+a[y-1]+a[y]，就可以表示为sum（y）-sum（x-1）；

就是任意连续数列和了

 

　　　　　　　　　　神出鬼没的分界线

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 　　　　　　　　在下的文字功底还是不行，可能讲的不是很好，请见谅

提供一些有关树状数组的题目：

 

新手练习1

新手练习2(需要抽象化模型）