树状数组整理

Posted 2021-03-13 tangzhiyang

• 一直觉得树状数组是个非常神奇的东西，代码不知道要比线段树短多少倍，还有什么 (lowbit) 之类的神奇操作。也是因此对其一直一知半解，用的时候都迷迷糊糊，瞎打一通。所以就写篇博客吧。。

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树状数组：

本质上是一个动态的前缀和，可以 (O(logn)) 维护单点修改， (O(logn)) 求一个前缀，预处理要 (O(nlogn)) 。

大体结构如图：

(A[i]) 数组表示原序列，(C[i]) 数组表示树状数组。

每次求和(更新)都是查询(改变)部分节点。( (logn) 个）

代码：

void Add(int x,int y){
    while(x<=n)c[x]+=y,x+=x&-x;
}
void Sum(int x){
    int res=0;
    while(x)res+=c[x],x-=x&-x;
    return res;
}

至于为什么是 (pm x&(-x)) , 就不解释了我也不知道。

两种常见用法：

1. (C[i]) 表示前（后）缀

这是最常见的一种，也比较好理解，过一下就好了。

• Tips：如果表示后缀的话只用把 (Add) 和 (Sum) 里关于 (x) 的范围，正负号改一下就可以了。

• 单点更新，单点（一个前缀）查询。

例题：luogu P3374

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500005;
int a[N],c[N];
int n,m;
void Add(int x,int y){
    while(x<=n)c[x]+=y,x+=x&-x;
}
int Sum(int x){
    int res=1;
    while(x)res+=c[x],x-=x&-x;
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        Add(i,a[i]);
    }
    int flag,x,y;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&flag,&x,&y);
        if(flag==1)Add(x,y);
        else printf("%d
",Sum(y)-Sum(x-1));
    }
    return 0;
}

2. (C[i]) 表示单点的值

这里存在一个差分数组的概念。

令 (d[i]=a[i]-a[i-1])，则 (a[k]=Sigma_{i=1}^{k}{d[i]} (a[0]=0))

同样，如果是后缀的话正负号改一下。

因此就可以用前缀来表示某一个数了。

• 预处理：

scanf("%d%d",&n,&m);
int la=0;
for(int i=1,x;i<=n;i++){
    scanf("%d",&x);
    Add(i,x-la),la=x;
}

• (Add) 函数：

是更新后面整个序列（同时更新一堆数），如果要更新一段区间（或单点），也要用到差分的手法:

Add(x,k),Add(y+1,-k)

• (Sum) 函数：

这里的 (Sum) 不再是代表前缀或者后缀，而是表示单独的一个数。因此大多数情况只能单点查询，像luogu P3368 。如果想要实现区间查询也是可以的，比较复杂，要维护两个树状数组，这里暂时不做解释。