170723一个简洁的求最大公约数算法

Posted 2020-09-29 HYFH

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 public class ZuiDaGongYueShuClass {
 4 
 5     public static void main(String[] args) {
 6         Scanner in = new Scanner(System.in);
 7         int a = in.nextInt();
 8         int b = in.nextInt();
 9         while (b != 0) {
10             int r = a % b;
11             a = b;
12             b = r;
13         }
14         System.out.println(a);
15         in.close();
16     }
17 }
//代码来自MOOC中国 翁恺 零基础学习Java

此处的核心算法在于：

1 while (b != 0) {
2     int r = a % b;
3     a = b;
4     b = r;
5 }

在此例中，原本的a、b中分别存放用户输入的两个整数，经过此循环的计算，a中将存放最终结果即最大公约数。

 证明方法如下：（来自百度百科）

证法一
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r
因此d也是b,a mod b的公约数
假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数,
进而d|a.因此d也是a,b的公约数
因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证法二

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc
第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），得证