详细了解大量 3x3 矩阵的求逆算法
Posted
技术标签:
【中文标题】详细了解大量 3x3 矩阵的求逆算法【英文标题】：Understanding in details the algorithm for inversion of a high number of 3x3 matrixes 【发布时间】：2020-03-22 04:23:22 【问题描述】：我遵循这个原始帖子：PyCuda code to invert a high number of 3x3 matrixes。 建议作为答案的代码是：
$ cat t14.py
import numpy as np
import pycuda.driver as cuda
from pycuda.compiler import SourceModule
import pycuda.autoinit
# kernel
kernel = SourceModule("""
__device__ unsigned getoff(unsigned &off)
unsigned ret = off & 0x0F;
off >>= 4;
return ret;
// in-place is acceptable i.e. out == in)
// T = float or double only
const int block_size = 288;
typedef double T; // *** can set to float or double
__global__ void inv3x3(const T * __restrict__ in, T * __restrict__ out, const size_t n, const unsigned * __restrict__ pat)
__shared__ T si[block_size];
size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x;
T det = 1;
if (idx < n*9)
det = in[idx];
unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;
unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo
si[threadIdx.x] = det;
__syncthreads();
unsigned off = pat[lane];
T a = si[sibase + getoff(off)];
a *= si[sibase + getoff(off)];
T b = si[sibase + getoff(off)];
b *= si[sibase + getoff(off)];
a -= b;
__syncthreads();
if (lane == 0) si[sibase+3] = a;
if (lane == 3) si[sibase+4] = a;
if (lane == 6) si[sibase+5] = a;
__syncthreads();
det = si[sibase]*si[sibase+3]+si[sibase+1]*si[sibase+4]+si[sibase+2]*si[sibase+5];
if (idx < n*9)
out[idx] = a / det;
""")
# host code
def gpuinv3x3(inp, n):
# internal constants not to be modified
hpat = (0x07584, 0x08172, 0x04251, 0x08365, 0x06280, 0x05032, 0x06473, 0x07061, 0x03140)
# Convert parameters into numpy array
# *** change next line between float32 and float64 to match float or double
inpd = np.array(inp, dtype=np.float64)
hpatd = np.array(hpat, dtype=np.uint32)
# *** change next line between float32 and float64 to match float or double
output = np.empty((n*9), dtype= np.float64)
# Get kernel function
matinv3x3 = kernel.get_function("inv3x3")
# Define block, grid and compute
blockDim = (288,1,1) # do not change
gridDim = ((n/32)+1,1,1)
# Kernel function
matinv3x3 (
cuda.In(inpd), cuda.Out(output), np.uint64(n), cuda.In(hpatd),
block=blockDim, grid=gridDim)
return output
inp = (1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 3.0, 1.0, 2.0, 2.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0)
n = 2
result = gpuinv3x3(inp, n)
print(result.reshape(2,3,3))
结果在包含 18 个值的初始一维数组（因此 2 个 3x3 矩阵）上给出了正确的反转矩阵，即：
[[[ 2. -0. -1. ]
[-1. -0.33333333 1. ]
[-0. 0.33333333 -0. ]]
[[ 1. 0. 0. ]
[ 0. 1. 0. ]
[ 0. 0. 1. ]]]
主要问题：我想详细了解该算法的工作原理，尤其是内核如何允许将共享内存用于初始一维向量，并在我在大量 3x3 矩阵上执行此代码时带来优化。
我理解这行：size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x;，它给出了当前工作组块的本地 threadIdx 和 blockIdx 标识的当前工作项的全局索引。
我知道__shared__ T si[block_size]; 代表一个共享数组，即与工作组块相关联：这就是我们所说的Local Memory。
另一方面，我不明白内核代码的以下部分：
__shared__ T si[block_size];
size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x;
T det = 1;
if (idx < n*9)
det = in[idx];
unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;
unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo
si[threadIdx.x] = det;
__syncthreads();
unsigned off = pat[lane];
c
__syncthreads();
if (lane == 0) si[sibase+3] = a;
if (lane == 3) si[sibase+4] = a;
if (lane == 6) si[sibase+5] = a;
__syncthreads();
确实，sibase定义的索引unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;的作用是什么
还有，lane 定义的参数有什么用处：unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo
最后，移位应用：
T a = si[sibase + getoff(off)];
a *= si[sibase + getoff(off)];
T b = si[sibase + getoff(off)];
b *= si[sibase + getoff(off)];
a -= b;
但我看不清楚功能。
这部分对我来说同样的问题：
if (lane == 0) si[sibase+3] = a;
if (lane == 3) si[sibase+4] = a;
if (lane == 6) si[sibase+5] = a;
行列式的计算方式很奇怪，我无法理解，即：
det = si[sibase]*si[sibase+3]+si[sibase+1]*si[sibase+4]+si[sibase+2]*si[sibase+5];
我不是 OpenCL 的初学者，但我不够专业，无法完全理解这个内核代码。
【问题讨论】：
【参考方案1】：预赛
首先，了解 3x3 矩阵求逆的算法很重要，请参阅here（及以下）。
用于内核设计的一般方法是为每个线程分配一个矩阵结果元素。因此，每个矩阵需要 9 个线程。最终，每个线程将负责为每个矩阵计算 9 个数值结果之一。为了计算两个矩阵，我们需要 18 个线程，3 个矩阵需要 27 个线程。
辅助任务是决定线程块/网格的大小。这遵循典型的方法（总体问题大小决定了所需的线程总数），但我们将为线程块大小做出特定选择 288，因为这是 9（每个矩阵的线程数）和 32（每个矩阵的线程数）的方便倍数CUDA 中每个 warp 的线程数），这为我们提供了一定的效率衡量标准（没有浪费的线程，没有数据存储间隙）。
由于我们的线程策略是每个矩阵元素一个线程，我们必须使用 9 个线程共同解决矩阵求逆算法。主要任务是计算辅因子的转置矩阵，然后计算行列式，然后进行最终算术（除以行列式）来计算每个结果元素。
辅助因子的计算
第一个任务是计算A的辅因子的转置矩阵，称为M：
|a b c|
let A = |d e f|
|g h i|
|ei-fh ch-bi bf-ce|
M = |fg-di ai-cg cd-af|
|dh-eg bg-ah ae-bd|
我们有 9 个线程来完成这个任务，矩阵 M 的 9 个元素要计算，所以我们将为 M 的每个元素分配一个线程。 M 的每个元素都依赖于多个输入值（a、b、c 等），所以我们首先将每个输入值（有 9 个，每个线程一个）加载到共享内存中：
// allocate enough shared memory for one element per thread in the block:
__shared__ T si[block_size];
// compute a globally unique thread index, so each thread has a unique number 0,1,2,etc.
size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x;
// establish a temporary variable that will use and reuse during thread processing
T det = 1;
// do a thread check to make sure that our next load will be in-bounds for the input array in
if (idx < n*9)
// load one element per thread, 9 threads per matrix will load an entire matrix
det = in[idx];
// for a given matrix (9 threads) compute the base offset into shared memory, where this matrix data (9 elements) will be stored. All 9 threads have the same base offset
unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;
// for each group of 9 threads handling a matrix, compute for each thread in that group, a group offset or "lane" from 0..8, so each thread in the group has a unique identifier/assignment in the group
unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo
// let each thread place its matrix element a,b,c, etc. into shared memory
si[threadIdx.x] = det;
// shared memory is now loaded, make sure all threads have loaded before any calculations begin
__syncthreads();
现在每个A 矩阵元素（a、b、c、...）都已加载到共享内存中，我们可以开始计算M 中的辅因子。让我们关注一个特定的线程 (0) 及其辅因子 (ei-fh)。计算这个辅因子所需的所有矩阵元素（e、i、f 和 h）现在都在共享内存中。我们需要一种方法来按顺序加载它们，并执行所需的乘法和减法。
此时我们观察到两件事：
-
每个
M 元素（辅因子）都有一组不同的A 所需的4 个元素
每个M 元素（辅因子）遵循相同的通用算法，给定A 的四个任意元素，让我们将它们统称为X、Y、Z 和W。算术是XY-ZW。我取第一个元素，乘以第二个元素，然后取第三个和第四个元素并将它们相乘，然后减去两个乘积。
由于所有 9 个辅因子的一般操作顺序（上面的 2）是相同的，我们只需要一个方法来安排 4 个所需矩阵元素的加载。这种方法被编码到硬编码到示例中的负载模式中：
hpat = (0x07584, 0x08172, 0x04251, 0x08365, 0x06280, 0x05032, 0x06473, 0x07061, 0x03140)
有 9 种负载模式，每种占用一个十六进制数量，每个线程一个负载模式，即每个M 矩阵元素（辅因子）一个负载模式。在特定的A 矩阵中，矩阵元素a、b、c 等（已经）在 group 偏移量为 0、1、2 等处加载到共享内存中. 给定线程的加载模式将允许我们生成组偏移序列，需要从它们在共享内存中的位置检索A 的矩阵元素，以便按顺序使用来计算分配给该线程的辅因子。考虑线程 0 及其辅因子 ei-fh，负载模式 0x7584 如何编码所需的模式以选择 e，然后是 i，然后是 f，然后是 h？
为此，我们有一个辅助函数getoff，它采用加载模式，并连续（每次调用它）剥离索引。我第一次使用0x7584 的参数调用getoff 时，它“剥离”索引4，返回它，并用0x758 替换0x7584 加载模式以供下次使用。 4 对应于e。下次我用0x758 调用getoff 时，它会“剥离”索引8，返回它，并用0x75 替换0x758。 8 对应于i。下一次产生索引5，对应f，上一次产生索引7，对应h。
有了这个描述，接下来我们将遍历代码，假设我们是线程 0，并描述计算ei-fh的过程：
// get the load pattern for my matrix "lane"
unsigned off = pat[lane];
//load my temporary variable `a` with the first item indexed in the load pattern:
T a = si[sibase + getoff(off)];
// multiply my temporary variable `a` with the second item indexed in the load pattern
a *= si[sibase + getoff(off)];
//load my temporary variable `b` with the third item indexed in the load pattern
T b = si[sibase + getoff(off)];
// multiply my temporary variable `b` with the fourth item indexed in the load pattern
b *= si[sibase + getoff(off)];
// compute the cofactor by subtracting the 2 products
a -= b;
sibase，正如第一个注释代码部分中已经指出的那样，是共享内存中存储A 矩阵元素的基本偏移量。然后getoff 函数添加到这个基地址以选择相关的输入元素。
行列式的计算
行列式的数值由下式给出：
det(A) = det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)
如果我们分解它，我们会看到所有项实际上都已经计算过了：
a,b,c: these are input matrix elements, in shared locations (group offsets) 0, 1, 2
ei-fh: cofactor computed by thread 0
di-fg: cofactor computed by thread 3 (with sign reversed)
dh-eg: cofactor computed by thread 6
现在，每个线程都需要行列式的值，因为每个线程在计算其最终（结果）元素时都会使用它。因此，我们将让矩阵中的每个线程冗余地计算相同的值（这比在一个线程中计算它更有效，然后将该值广播到其他线程）。为了促进这一点，我们需要 3 个已计算的辅因子可供所有 9 个线程使用。因此，我们将在共享内存中选择 3 个（不再需要）位置来“发布”这些值。我们仍然需要位置 0、1、2 中的值，因为我们需要输入矩阵元素 a、b 和 c 来计算行列式。但是我们不再需要位置 3、4 或 5 中的输入元素来完成剩下的工作，因此我们将重用它们：
// we are about to change shared values, so wait until all previous usage is complete
__syncthreads();
// load cofactor computed by thread 0 into group offset 3 in shared
if (lane == 0) si[sibase+3] = a;
// load cofactor computed by thread 3 into group offset 4 in shared
if (lane == 3) si[sibase+4] = a;
// load cofactor computed by thread 6 into group offset 5 in shared
if (lane == 6) si[sibase+5] = a;
// make sure shared memory loads are complete
__syncthreads();
// let every thread compute the determinant (same for all threads)
// a * (ei-fh) + b * -(fg-di) + c * (dh-eg)
det = si[sibase]*si[sibase+3]+si[sibase+1]*si[sibase+4]+si[sibase+2]*si[sibase+5];
最终结果的计算
这仅涉及（对于每个线程）将先前为该线程计算的辅因子除以刚刚计算的行列式，并存储该结果：
// another thread check: make sure this thread is actually doing useful work
if (idx < n*9)
// take previously computed cofactor, divide by determinant, store result
out[idx] = a / det;
【讨论】：
非常感谢！你帮助我掌握了内核代码的不同过程和结构。你的解释很清楚！问候以上是关于详细了解大量 3x3 矩阵的求逆算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章