『科学计算_理论』最大似然估计

Posted 2020-09-28 叠加态的猫

最大似然法，最小二乘法，Logistic回归，最大后验概率

一、先验条件

通俗来讲，最大似然估计，就是利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。

重要的假设是所有采样满足独立同分布。

二、最大似然法

假如我们有一组连续变量的采样值（x1,x2,…,xn），我们知道这组数据服从正态分布（最大似然法特点，我们已知模型，求解的是模型的具体参数），标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时，产生这个已有数据的概率最大？

　　　　P(Data | M) = ？

根据公式

可得:

对μ求导可得

,

则最大似然估计的结果为μ=(x1+x2+…+xn)/n

 

由上可知最大似然估计的一般求解过程：

　　（1） 写出似然函数；

　　（2） 对似然函数取对数，并整理（目的是化似然函数的连乘为连加，简化运算）；

　　（3） 求导数 ；

　　（4） 解似然方程

 

注意：最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率，而未考虑该模型本身的概率，这点与贝叶斯估计有所区别。

最大似然法和最小二乘法

 

最大似然法和Logistic回归

这是个二分类模型，意义是在该参数系统下y=1的概率，补集是y=0的概率。

最后希望最小化（绝对值最小化）的形式如上，和最小二乘法有点类似。

三、最大后验概率

最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。

与最大似然估计类似，但是最大的不同时，最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。

首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计，假设x为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为：

现在，假设θ的先验分布为g。通过贝叶斯理论，对于θ的后验分布如下式所示：

最后验分布的目标为：

　　　　注：最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。

　　举例来说：

　　假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味)，已知五个袋子中两种口味的比例分别是

　　　　樱桃 100%

　　　　樱桃 75% + 柠檬 25%

　　　　樱桃 50% + 柠檬 50%

　　　　樱桃 25% + 柠檬 75%

　　　　柠檬 100%

　　如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干，那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？

我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)，则似然函数可以写作

　　

　　由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。

上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼干的问题。

假设拿到袋子1或5的机率都是0.1，拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的机率是0.4，那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了。我们根据公式

　　

写出我们的MAP函数。

　　

根据题意的描述可知，p的取值分别为0,25%，50%，75%，1，g的取值分别为0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。

　　上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设为独立同分布的，μ有一个先验的概率分布为。那么我们想根据来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述，写出MAP函数为：

　　

　　此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求

　　

　　的最小值。求导可得所求的μ为

　　

　　以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。

在MAP中我们应注意的是：

MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布，或者说，MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值，而MAP给出了不同的划定。

参考：

最大似然估计（MLE）和最大后验概率（MAP）