旧题新做：从idy的视角看数据结构

Posted 2020-09-28 Doggu

　　“今天你不写总结……！！！”

　　额……

　　还是讲我的吧。这些考试都是idy出的题。

20170121：DFS序、 ST表、线段树练习

　　这是第一次考数据结构。

　　Problem 1. setsum 1 second
　　　　给你一个长度为N 的整数序列，支持两种操作：
　　　　• modity l r val 将区间[l，r] 中的所有数修改为val
　　　　• query l r 询问区间[l，r] 所有数的和

　　分析：最简单的线段树，区间更改区间求和。但注意是更改，不是添改，sum与flag需同时覆盖。

　　Problem 2. subtree 1 second
　　　　给出一棵N 个点的有根树（以1 为根），每个点有点权，要求支持：
　　　　• modify u x 把节点u 的点权加x
　　　　• query u 询问u 代表的子树的点权和

　　分析：DFS序，单点修改区间求和

　　Problem 3. matgcd 1 second
　　　　给出一个N M 的正整数矩阵，再给出Q 个询问：
　　　　• query x1 y1 x2 y2：询问(x1,y1)-(x2,y2) 这个子矩形的最大公约数。

　　分析：idy所说的“正解”,我现在依旧很敬畏。树套树，外面按行，行有ls，rs但也有一棵按列的树。合并时，ls的被套树与rs的被套树相合并。查询时，若行已卡入，则进入其按列树进行统计。此题无修改，若有修改，则标记需要好好讲究。但此题就是无修改，故可用ST表水过去。代码实现很暴力。

20170122：LCA 值域线段树 加 复习

　　基本在树上。

　　Problem 1. distance 1 second
　　　　小庆住在一个很特别的国度里，它有N 个城市，并且只建了N -1 条双向路，但神奇的是任意两个城市
都可以通过这些路连接起来。小庆最近在研究寒假的旅游计划，有时她想快速地知道两个城市之间的距
离，于是找你来帮帮解决。

　　分析：ST表倍增经典做法，存anc与cost。

　　Problem 2. redpacket 1 second
　　　　承上题）小漫是小庆那个国家的国王，她住在1 号城市，u 号城市如果到1 必定经过v 号城市，我们则
称v 号城市管辖u 号城市（v 号城市也管辖自己）。过年了，小漫想给国家的一些城市发红包，每次她会
给u 号城市管辖的每个城市发放w 的红包，有时，她也想知道某个城市或被某个城市管辖的城市一共得
了多少红包。如下：
　　　　• give u w ：表示将u 号城市管辖的每个城市发w 的红包。
　　　　• single u ：表示询问u 号城市得了多少红包。
　　　　• all u ：表示询问u 号城市管辖的城市一共得了多少红包。

　　分析：DFS序，简单处理。

　　Problem 3. kth 1 second
　　　　小敏有个可重集S，一开始就包含一些整数，现在有三种操作需要你执行：
　　　　• add x 将整数数x 加到集合中
　　　　• del x 如果集合中有整数x，则删除一个x，否则忽略本操作。
　　　　• query k 询问这个集合中第k 小的整数数是多少

　　分析：值域线段树，若不提前给出上下界，须读入离散化。

20170123：最SXBK的一次练习

　　额额额额额。

　　Problem 1. dcplca 1 second
　　　　这是一道练习题，要求你们用链剖来写lca，熟悉链剖的过程。（以节点1 为根）

　　分析：神奇的idy为了防止你用倍增，一定会卡O（nlog n）的内存。但是，链剖确实不难写。DFS1：siz，son，fat，dep。DFS2：top，in，out，seq。DFS2中的后三者是为了方便用线段树DFS序，一条重链上in值是连续的。

　　Problem 2. treekth 1 second
　　　　给你棵带点权树，一些询问：
　　　　• query u v 询问节点u 和v 之间的简单路径上的点权的中位数1。

　　分析：这道题才是真正SXBK的那道题。先用树链剖分（后面求LCA），再DFS建出主席树（存链值），然后用差分求出中位数。但是，就是调不出来！！！

　　Problem 3. full 1 second
　　　　我们来个完全版如何？
　　　　给你棵带点权的树（以1 为根），要你完成一些操作。
　　　　• msub u x：将u 代表的子树的点权整体加x
　　　　• mpth u v x：将u 到v 的简单路径的点权整体加x
　　　　• qsub u：询问子树u 的点权和
　　　　• qpth u v：询问路径u 到v 的点权和

　　分析：链剖与DFS序共存。

20170318：数据结构第1套模拟题

　　是否变难了？

　　Problem 1. rotinv 2 seconds 256 MB
　　　　如果你有一个长度为n 的序列：
　　　　　　a1，a2，a3，……，an
　　　　那么它的一个逆序对是一个二元组：< i， j > 满足i < j 且ai > aj，其中i， j ∈ [1， n]。
　　　　我们称一个序列所包含的逆序对的个数为这个序列的逆序对数。
　　　　那么问题来了：
　　　　我给出一个长度为n 的序列，需要你计算：

　　　　　　　　a1，a2，a3，……，an-1，an

　　　　　　a2，a3，a4，……，an，a1

　　　　　　　　　　　　  ……

　　　　　　　　an，a1，a2，……，an-2，an-1
　　　　这n 个序列的逆序对之和。

　　分析：方法很多，但大致相似。转化为数学公式，然后用树状数组快速解决。对于这种问题的极困难版，可见BZOJ 图腾。

　　Problem 2. rise 2 seconds 256 MB
　　　　你有一堆柱子，它们竖直地并排摆放在桌子上，它们的高度分别是：

h1，h2，h3，……，hn

　　　　你从前往后看，能够看见的柱子个数为这个柱子序列的“可见度”（能够看见柱子i 当且仅当hj < hi & j < i）。
　　　　现在给你一个长度为n 的序列，还有m 个询问，每次询问某个区间[l，r] 的柱子单独拿出来后，其可见度是多大。

　　分析：当时并没有看懂题解。后来做了一道BZOJ 楼房重建，再一看便恍然大悟。与那道题相似，但需要多存储一些东西。因为没有修改，可以充分使用此题的性质。但丁神在统计的时候，把所有线段先放入了栈，再集中处理。看似更加麻烦，但其实更加朴素，更加灵活。还有，当时很迷，于是写了个暴力（链表）水了过去。

　　Problem 3. seqmod 2 seconds 256 MB
　　　　给你一棵无根树，边有边权，且是[0，9] 之间的整数，给你m 个询问，每次询问两个点u， v 之间的路径的边的边权顺次连接起来后构成的那个数字取模于31。

　　分析：题面十分易懂。链剖也很好想，但是，就像其他很多的DS题一样，你以为自己已经明白了，但还是有太多细节没有想到。为了方便合并，idy想到用struct来做到方便的合并。找路径的方式也有不同，谁深了就跳谁，最后到同一条链上进行最后的合并。每一个节点也存了2个方向，但怎样区分？很简单，按深度。

20170404：practice before 省选

　　啊啊啊啊啊！

　　Problem 1. setmod 2 seconds 256 MB
　　　　给你一个序列：a1，a2，a3，……， an，有m 个操作，操作如下：
　　　　• modify l r x 　将区间[l，r] 中的每个数修改为x
　　　　• change l r x 将区间[l，r] 中的每个数加上x
　　　　• query l r 询问区间[l，r] 中的和

　　分析：我在处理时，用了一种叫做kill的标记。因为“修改为”==“清场”+“加上”。但是，这似乎有点不负责任。若+=与=标记同时作用，当然很好想。若只用一个，需用type。

　　int type; // type==1 change += 改改改delta 原delta或无则++ 原value则value++ 
　　dnt delta, value; // type==2 modify = 改value

　　Problem 2. area  2 seconds 256 MB
　　　　给出n 个矩形，求它们的面积并．
　　　　更准确一点，每个矩形将给出它的左上角和右下角的位置：x1，y1， x2， y2
　　　　这四个数都是整数且满足x1<=x2，y1<=y2．
　　　　我们需要你求：
　　　　　　area =|{ f(x, y) ∈ Z × Z | ∃ a rect. s. t. x1<=x2 and y1<=y2 }|

　　分析：扫描线，标记永久化。时候不早了，明天再来。

　　Problem 3. intkth 3 seconds 512 MB
　　　　我看好你哟。
　　　　给你一个长度为n 的序列，有m 个操作：
　　　　• modify u x 将第u 个数修改为x
　　　　• query l r k 询问区间[l，r] 中第k 小的数

　　分析：此题很有趣。树状数组套线段树，很好实现。