HH去散步[SDOI2009]

Posted 2020-09-28 moyiii

题目描述

HH有个一成不变的习惯，喜欢饭后百步走。所谓百步走，就是散步，就是在一定的时间 内，走过一定的距离。 但是同时HH又是个喜欢变化的人，所以他不会立刻沿着刚刚走来的路走回。 又因为HH是个喜欢变化的人，所以他每天走过的路径都不完全一样，他想知道他究竟有多 少种散步的方法。 现在给你学校的地图（假设每条路的长度都是一样的都是1），问长度为t，从给定地 点A走到给定地点B共有多少条符合条件的路径

输入

第一行：五个整数N，M，t，A，B。

N表示学校里的路口的个数

M表示学校里的 路的条数

t表示HH想要散步的距离

A表示散步的出发点

B则表示散步的终点。

接下来M行

每行一组Ai，Bi，表示从路口Ai到路口Bi有一条路。

数据保证Ai ！= Bi,但不保证任意两个路口之间至多只有一条路相连接。 

路口编号从0到N -1。 

同一行内所有数据均由一个空格隔开，行首行尾没有多余空格。没有多余空行。 

答案模45989。

N ≤ 20，M ≤ 60，t ≤ 2^30，0 ≤ A,B

输出

一行，表示答案。

样例输入

4 5 3 0 0
0 1
0 2
0 3
2 1
3 2

样例输出

4

题解

    考试的时候想得比较粗略，一开始当然是暴力深搜，也知道这种方案数还取模的题不可能深搜出正解，但还是先打了一通，没费什么力气就出了样例。之后开始想正解，感觉或许应该把环收缩一下，但是环环相扣环环重叠不知道应该怎么处理，最后还是把深搜交上去了。
    正解是矩阵优化dp(但总感觉它其实说不上是dp)，比如矩阵G[i,j]的k次方中的g(a,b)可以表示从a点到b点经过k条边的方案数，本题因为对于边有特殊的要求(不立刻反向)所以把边放进矩阵，G[i,j]为1表示从i到j有一条边，这里的边是分方向的，双向建边就会有2*m条。tot矩阵(其实只有一行)表示从起点有哪些边出来。tot乘上G[i,j]的k-1次方(注意顺序，矩阵乘法不满足交换律)，把得到的一行结果矩阵中有边到终点的位加和，得到的结果即为答案。
    刚开始觉得矩阵非常抽象，虽然自己在课下学过很多数学书上的理论知识但还是不会用，不过这道题让我明白矩阵也是有明确含义的(加速矩阵除外)，本质上还是要理解算法每一步的目的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,t,a,b,temp;
const int md=45989;
int dis[125][125]={0},tot[2][125]={0},ans[125][125]={0};
inline int r()
{
    int jg=0,jk=0;
    jk=getchar()-‘0‘;
    if(jk>=0&&jk<=9)  jg+=jk;
    jk=getchar()-‘0‘;
    while(jk>=0&&jk<=9)
    {
       jg*=10;
       jg+=jk;
       jk=getchar()-‘0‘;
    }
    return jg;
}
int h[25],e;
struct B
{
     int u,v,ne;
}bi[125];
void add(int x,int y)
{
     bi[e].u=x;
     bi[e].v=y;
     bi[e].ne=h[x];
     h[x]=e++;
}
int jg[125][125];
void jc(int cs1[][125],int cs2[][125])
{
     memset(jg,0,sizeof(jg));
     for(int i=0;i<temp;i++)
       for(int j=0;j<temp;j++)
         for(int k=0;k<temp;k++)
           jg[i][j]+=(cs1[i][k]*cs2[k][j])%md;
     for(int i=0;i<temp;i++)
       for(int j=0;j<temp;j++)
         cs1[i][j]=jg[i][j]%md;
}
void init()
{
     n=r();
     m=r();
     t=r();
     a=r();
     b=r();
     temp=2*m;
     memset(h,-1,sizeof(h));
     int a1,a2;
     for(int i=0;i<m;i++)
     {
        a1=r();
        a2=r();
        add(a1,a2);
        add(a2,a1);
     }
     for(int i=0;i<n;i++)
      for(int j=h[i];j!=-1;j=bi[j].ne)
        for(int k=h[bi[j].v];k!=-1;k=bi[k].ne)
        {
          if(((k&1)&&k==j+1)||((j&1)&&j==k+1))
            continue;
          dis[j][k]=1;
        }
     for(int i=h[a];i!=-1;i=bi[i].ne)
          tot[0][i]=1;
}
int main()
{
    init();
    for(int i=0;i<temp;i++)
      ans[i][i]=1;
    t--;
    while(t)
    {
       if(t&1) jc(ans,dis);
       t>>=1;
       jc(dis,dis);
    }
    jc(tot,ans);
    int res=0;
    for(int i=h[b];i!=-1;i=bi[i].ne)
    {
      if(i&1)
        res+=tot[0][i-1];
      else
        res+=tot[0][i+1];
    }
    printf("%d",res%md);
    return 0;
}