快速幂与矩阵快速幂

Posted 2020-06-25

快速幂的思路：

　　　　仍然是与2 分法有关的算法：（很多O（logN）的算法都是二分法啊。。。）

　　　　但快速幂有个前题，就是数据类型必须满足结合律

对于一般的解法：
A^8 = A * A * A * A * A * A * A * A
总共需要7次乘法运算；

将其平均分解：
A^8 = (A * A * A * A) * (A * A * A * A) = (A * A * A * A) ^ 2
这样我们就只需要4次乘法运算了；

我们还可以将其再分解：
A^6 = [(A * A) * (A * A)] ^ 2 = [(A * A) ^ 2] ^ 2
这样就将乘法运算的次数减少为了3次。

int Qpow(int a, int b){
    if(b == 0) return 1;
    int x = 1;
    while(n) {
        if(n&1) x *= a;
        a *= a;
        n >>= 1;
    }
    return x;
}

矩阵快速幂的思路：

　　　　定义个矩阵类，重载下运算符使其满足结合律：

　　

class Matrix{
public:
    int N;
    int **m;

    Matrix(int n = 2){
        m = new int*[n];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            m[i] = new int[n];
        }
        N = n;
        clear();
    }
    void clear(){       ///将矩阵清空为0矩阵
        for(int i = 0; i < N; i++){
            memset(m[i], 0, sizeof(int) * N);
        }
    }
    void unit(){        ///将矩阵设置为单元矩阵
        clear();
        for(int i = 0; i < N; i++){
            m[i][i] = 1;
        }
    }
    Matrix operator= (Matrix &se){   ///赋值
        Matrix(se.N);
        for(int i = 0; i < se.N; i++){
            for(int  j =0; j < se.N; j++){
                m[i][j] = se.m[i][j];
            }
        }
        return *this;
    }
    Matrix operator* (Matrix &se){    ///矩阵乘法；
        Matrix rslt(se.N);
        for(int i = 0; i < se.N; i++){
            for(int j = 0; j < se.N; j++){
                for(int k = 0; k < se.N; k++){
                    rslt.m[i][j] += m[i][k] * se.m[k][j];
                }
            }
        }
        return rslt;
    }
};

Matrix QMpow(Matrix &A, int n){
    Matrix rslt(A.N);
    rslt.unit();
    if(n == 0) return rslt;
    while(n){
        if(n&1) rslt *= A;
        A*=A;
        n>>=1;
    }
    return rslt;
}