NKOJ 2017信息学夏令营第1场（图论专项练习）

Posted 2020-09-27 1218ghcred

A题：

网络流最大流模型。

用 [1, m] 表示各个国家，[m+1, m+n] 表示各个餐桌。

从 s 向 i 连边，容量为第 i 个国家的代表数；

从 m+i 向 t 连边，容量为第 i 张餐桌的容量；

从 i 向 j + m 连边，容量为 1 ，这样就限制了每个国家在一个餐桌上至多有一个代表。

找到最大流，表示满足条件的代表数量最大值，再与提前计算出的代表总数量比较，

两者如果相等说明存在合理方案，输出 1 ，否则输出 0.

B题：

二分图的最大匹配模型。

我在比赛的时候考虑了费用流，在“如何避免顾客合资买鞋”“如何有钱人买一大堆鞋”

等问题上纠结了很长的时间，还考虑过拆点等……这应该算是题目容易误导人的地

方吧。当然，费用流是不可取的。

将鞋和顾客分别作为二分图的一个点集，从每双鞋向可以购买它的顾客对应的点连边。

然后是一个贪心过程，将 n 双鞋按照价格降序排列，以排序后的点为起点，依次找增

广路，每次 i 号鞋成功找到增广路则 ans += price[i] ，最后输出 ans。

用二分图做这道题就满足了“一双鞋只对应一位顾客”这个条件。

C题：

二分图最大匹配模型。

注意到主对角线上的点满足任意两点行号列号均不同的性质。因此如果原图中有任意

两个点同行或同列，则不可能通过行列交换得到符合条件的图（行列交换后两点仍在

同行或同列）。问题简化为：判断是否有两点同行或同列。将黑色棋子行号作为二分

图的一个点集，列号作为另一个，每颗黑色棋子的行号对应点和列号对应点相连。同

一个行号对应点若有多条连边，表示该行有多个黑棋，列号对应点也是这样。执行二

分图最大匹配，若匹配数量等于 n ，表明没有两点同行或同列，输出 Yes ，否则 输

出 No.

D题：

最小割等于最大流。

建一个网络流模型。

从 s 向 i 连边，容量为第 i 个实验的赞助费；

从 i 向 m+j 连边，容量为 inf ，j 为 i 号实验对应的仪器编号；

从 j 向 t 连边，容量为 j 号仪器的费用。

1 <= i <= m; 1<= j <= n;

最小割的实际意义是选用仪器的费用和最小，找出最小割等于最大流 flow 。

提前计算赞助费用和 sum ，则 sum-flow 就是答案。

另外这道题给出实验对应仪器编号时是以换行符结尾的，不能直接读，我用了类似

输入优化的手写输入（getchar() 函数）来解决这个问题。