NOIP模拟:切蛋糕(数学欧拉函数)

Posted 2020-09-27 CzYoL

题目描述

　  BG 有一块细长的蛋糕，长度为 n。
　　有一些人要来 BG 家里吃蛋糕， BG 把蛋糕切成了若干块(整数长度)，然后分给这些人。
　　为了公平，每个人得到的蛋糕长度和必须相等，且必须是连续的一段。
　　但是， BG 并不知道要有多少人来。 他只知道， 来的人数为n的约数，且小于n。

　　显然把蛋糕平均分成 n 块一定能满足要求。但是， BG 想要分出的块数尽量少。现在 BG
　　想知道，他要把蛋糕分成至少多少块，才能使得不管多少人来都能满足要求。

输入格式

　　输入文件名为 cake.in。
　　输入共一个整数 n，表示蛋糕的长度。

输出格式

　　输出文件名为 cake.out。
　　输出共一个整数， 表示分出的最少块数。

样例输入1

　　6

样例输出1

　　4

样例输入2

　　15

样例输出2

　　7

题目分析

　　拿15的分割为例子：

　　  

　　 可以看出切割处均为15的约数(在15处会出现重叠)，

　　若设 f(x) 表示15中x的倍数有几个，则答案应为

　　$$ans = f(3) + f(5) - f(15) $$

　　其实就是n - 小于n且与n互质的数---->欧拉函数

　　欧拉函数$\\phi$(n) ： $\\phi$(n) 表示[1, n]中与 n 互质的整数的个数。

　　主要公式: $$phi(n) = n · \\prod_{p \\in P} \\frac{p - 1}{p}$$

　　欧拉函数有两种求法：

• 多个数的欧拉函数

void sieve() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        if (!pr[i])
            prime[pn++] = pr[i] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 0; j < pn; ++j) {
            int k = i * prime[j];
            if (k >= N) break;
            pr[k] = prime[j];
            if (i % prime[j] == 0) {
                phi[k] = phi[i] * prime[j];
                break;
            } else 
                phi[k] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

 

• 求一个数的欧拉函数

    p = ans = n;
    for(int i = 2; i * i <= p; i++){
        if(p % i == 0) ans = ans / i * (i - 1) ;
        while(p % i == 0) p /= i;
    }
    if(p != 1)
        ans = ans / p *(p - 1) ;

　　本题只需求一个值。

CODE

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int phi;
int ans;
int n, p;

int main(){
    cin>>n;
    p = ans = n;
    for(int i = 2; i * i <= p; i++){
        if(p % i == 0) ans = ans / i * (i - 1) ;
        while(p % i == 0) p /= i;
    }
    if(p != 1)
        ans = ans / p *(p - 1) ;
    cout<<n - ans;
    return 0;
}