回溯法——求解0-1背包问题

Posted 2020-09-27 wzjhoutai

         曾经研究过一个简单的N皇后问题，对回溯法也有了个模糊的认识，大致理解就是：先一直做某件事，当完毕某个条件时或者是触犯某个条件时。再返回到近期的一个类似还原点的地方。

       在用回溯法求解0-1背包问题的时候。主要遇到三个相对难解决的问题：1。什么是界限函数；2，什么时候用它；3，回溯到哪儿。

   什么是界限函数？

        例如以下图：

            当我们身在一棵搜索空间树中，站在一个K点举棋不定的时候。我们能够用它估算假设我们继续向下走，我们走完本段路会获得的总价值。

假设我们如今有一个最大解，当我用界限函数算出一个价值后和我当前的最大解比較。假设能获得更大利益。我们选择继续向下走，假设不能。果断放弃。

         从下图中的伪代码能够看出，我们计算后半段最大价值的时候。使用的还是一个贪心算法。尽管切割的情况是不被同意的，可是我们能够用这个结果来进行估算。

       

        

回溯法得到的搜索空间树:

     

            

       

    什么时候使用界限函数？

                

       数学一点儿的说法是：当X[i]=0时。

 

   通俗一点说：当进入右结点的时候。

   怎样回溯的问题？

        向上回溯到第一个不是0的结点（而且这个结点不是顶点）。

               

   求解思路

                

               如上图搜索树。在建立搜索树之前，我将全部的物品依照V/W（价值重量比）从大到小排序。然后从第一个開始。依次向背包（背包大小110）中放入，放到第6个的时候，这时候发现6太大了，不能装入了，这时候用界限函数推断下，假设继续下去。会获得的最大价值，得出这个价值后，和上几次查找得到的最大价值对照，可是由于我们在这之前还没有获得过别的解，所以界限函数再和最大价值的初值-1比較的时候，总是会选择继续。这样我们就得到了一个解139.然后我们回溯到第一个X[i]不等于0的地方，此处为X[5],然后将X[5]置为0。这时候X[5]置0了，我们就先用界限函数推断下X[6]到X[8]的情况，得出了个164.44，这个比我们上次得到的第一个解也是最大的解139大。说明向后继续，肯会出现一个比139还大的解，所以我们选择向后继续。。

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            但我们回溯到X[1]的时候。我们将X[1]置0。这时候用界限函数估算下物品2到物品8可能获得的最大价值，发现是155.11，比我们实际得到的最大解159还小，然后果断放弃，再向上回溯，发现这已经到了尽头了，然后停止。

                 

                  结合曾经的N皇后问题，N皇后问题是我一行一行的放皇后。假设当下一行放到最后一个位置的时候还是会产生攻击。这时候我们就调整上一行皇后的位置，然后再回到本行从第一个開始放。对照0-1背包，这个是完毕一次求解过程，然后就回溯继续求解。

            

            所以，回溯法是先一直做，做不下去了，然后才向回走。

     小结：

                    0-1背包问题的用回溯法解决最開始提出的三个问题挺关键的，试想，假设一个问题足够大的话。用界限函数可以砍掉非常多不合条件的子节点。极大的提高了效率。