NOIP2016提高组愤怒的小鸟（状压宽搜）

Posted 2020-09-26 ssttkkl

题目描述

Kiana最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于(0,0)处，每次Kiana可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如的曲线，其中a,b是Kiana指定的参数，且必须满足a<0。

当小鸟落回地面(即x轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有n只绿色的小猪，其中第i只小猪所在的坐标为(xi,yi)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了(xi,yi),那么第i只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过(xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第i只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于(1,3)和(3,3)，Kiana可以选择发射一只飞行轨迹为的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有T个关卡，现在Kiana想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含一个正整数T，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这T个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和Kiana输入的神秘指令类型。接下来的n行中，第i行包含两个正实数(xi,yi)，表示第i只小猪坐标为(xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果m=0，表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。

如果m=1，则这个关卡将会满足：至多用只小鸟即可消灭所有小猪。

如果m=2,则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少只小猪。

保证1<=n<=18，0<=m<=2，0<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号和分别表示对c向上取整和向下取整

 

输出格式：

 

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量

 

输入输出样例

输入样例#1：

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

输出样例#1：

1
1

输入样例#2：

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

输出样例#2：

2
2
3

输入样例#3：

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

输出样例#3：

6

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，2只小猪分别位于（1.00,3.00)和 (3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为y = -x^2 + 4x的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有5只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y = -x^2 + 6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

【数据范围】

 

题解（宽搜版）

每次打出一条抛物线至少打下一头猪，要求最少次数，可以考虑宽搜+剪枝。每次发射的抛物线要么经过两头猪，这两头猪确定的这条抛物线上的所有猪都被打下；要么只经过一头猪，因为一点确定无数条抛物线，必定有一条只经过这一头猪，我们不关心这条抛物线具体是哪一条。

两点确定一条过原点的抛物线y=ax²+bx：点(x₁, y₁) (x₂, y₂)过抛物线，得y₁=ax₁²+bx₁，y₂=ax₂²+bx₂，两式分别变形得y₁/x₁-ax₁=y₂/x₂-ax₂=b，再整理得a=(y₂/x₂-y₁/x₁)/(x₂-x₁)。求出a后往回代可求出b。

由于猪最多只有18头，考虑状压，用一个32位数值型记录当前状态下被打掉的猪。则初始状态为(0)₂，终止状态为(111...111)₂。再预处理每两头猪确定的抛物线可以打下哪些猪。

题目给的m应该是用来xjb剪枝用的，但是m=2怎么用我也不懂……

注意事项：

浮点数判断相等，eps要取到1e-6，之前取1e-3被卡两个点。
剪枝用visited数组保存某个状态是否进过队，所以要在进队的时候赋值，之前乱搞成出队的时候赋值结果一片tle。
stl的queue不开优化会很慢，可以考虑手写队列。

  1 #include <algorithm>
  2 #include <cstring>
  3 #include <iostream>
  4 #include <queue>
  5 #include <vector>
  6 #include <cmath>
  7 using namespace std;
  8 bool equal(double x, double y, double eps = 0.000001)
  9 {
 10     return fabs(x - y) <= eps;
 11 }
 12 typedef pair<double, double> pig;
 13 int n, m;
 14 unsigned achievement;
 15 pig pigs[20];
 16 unsigned pwxs[20][20];
 17 bool visited[(1 << 20)];
 18 int bfs()
 19 {
 20     typedef pair<unsigned, int> state;
 21     queue<state> q;
 22     q.push(make_pair(0, 0));
 23     while (!q.empty())
 24     {
 25         state x = q.front();
 26         q.pop();
 27         if (x.first == achievement)
 28             return x.second;
 29         if (m == 1 && x.second > (int)(n * 1.0 / 3 + 3))
 30             continue;
 31         for (int i = 1; i <= n; i++)
 32         {
 33             if (!(x.first & (1 << i)))
 34             {
 35                 state y = x;
 36                 y.first |= (1 << i);
 37                 y.second++;
 38                 if (!visited[y.first])
 39                 {
 40                     q.push(y);
 41                     visited[y.first] = true;
 42                 }
 43             }
 44         }
 45         for (int i = 1; i <= n; i++)
 46         {
 47             for (int j = i + 1; j <= n; j++)
 48             {
 49                 if (!(x.first & (1 << i)) && !(x.first & (1 << j)))
 50                 {
 51                     state y = x;
 52                     y.first |= pwxs[i][j];
 53                     y.second++;
 54                     if (!visited[y.first])
 55                     {
 56                         q.push(y);
 57                         visited[y.first] = true;
 58                     }
 59                 }
 60             }
 61         }
 62     }
 63     return -1;
 64 }
 65 int main()
 66 {
 67     ios::sync_with_stdio(false);
 68     int t;
 69     cin >> t;
 70     while (t--)
 71     {
 72         memset(visited, false, 1 << 20);
 73         cin >> n >> m;
 74         for (int i = 1; i <= n; i++)
 75             for (int j = 1; j <= n; j++)
 76                 pwxs[i][j] = 0;
 77         achievement = 0;
 78         for (int i = 1; i <= n; i++)
 79             achievement |= (1 << i);
 80         double a, b;
 81         for (int i = 1; i <= n; i++)
 82         {
 83             cin >> a >> b;
 84             pigs[i] = make_pair(a, b);
 85         }
 86         for (int i = 1; i <= n; i++)
 87         {
 88             for (int j = i + 1; j <= n; j++)
 89             {
 90                 // y=ax^2+bx
 91                 // y1=ax1^2+bx1
 92                 // y2=ax2^2+bx2
 93                 // b=y1/x1-ax1
 94                 //  =y2/x2-ax2
 95                 // a=(y2/x2-y1/x1)/(x2-x1)
 96                 double &x1 = pigs[i].first, &y1 = pigs[i].second;
 97                 double &x2 = pigs[j].first, &y2 = pigs[j].second;
 98                 double a = (y2 / x2 - y1 / x1) / (x2 - x1);
 99                 double b = y1 / x1 - a * x1;
100                 if (a < 0)
101                 {
102                     for (int k = 1; k <= n; k++)
103                     {
104                         double &x = pigs[k].first, &y = pigs[k].second;
105                         if (equal(a * x * x + b * x, y))
106                             pwxs[i][j] |= (1 << k);
107                     }
108                 }
109             }
110         }
111         cout << bfs() << endl;
112     }
113     return 0;
114 }