算法概论第八章课后习题8.3

Posted 2020-09-26

8.3 吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值——如果该赋值存在。证明吝啬SAT是NP-完全问题。

证明：

补充一下SAT问题的概念：SAT问题是指是否存在一组对所有布尔变量的赋值（TRUE或FALSE），使得整个合取范式取指为真。

根据书本8.2章的定义：称一个搜索问题是NP-完全的，是指其它所有搜索问题都可以归约到它。

从定义可知，证明一个问题是NP-完全问题有两步，第一步是证明该问题是一个NP问题，第二步是证明其它所有搜索问题都可以归约到该问题。

先证明吝啬SAT问题是NP问题。

如果存在一组对应于吝啬SAT问题子句变量的值，将这组值代入该问题中，可以在多项式时间内验证问题的解是否为真。因此吝啬SAT问题是NP问题。

再证明其他所有搜索问题都可以归约到该问题。

因为所有搜索问题都可以被归约为SAT问题。因此上述问题转化为证明SAT问题可以归约为吝啬SAT问题。

设f为SAT的一个实例，令SAT问题中变量个数为k，即f中变量总数为k，则（f,k）为吝啬SAT问题的实例。

证明SAT问题可以归约为吝啬SAT问题从其充分性和必要性证明。

如果f的解存在，则该解中值为true的变量数量小于等于k个。所以该解也是吝啬SAT问题（f，k）的解。

如果（f，k）的解存在，则该吝啬SAT问题的解中值为true的变量数量也小于等于k个，因此它也是SAT问题f的解。

必要性和充分性得证。SAT问题可以归约为吝啬SAT问题。

综上，吝啬SAT问题为NP-完全问题。