算法概论课后习题8.8

Posted 2020-09-26

题目：在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中，输入为一组子句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。

跟8.3题类似，要证明精确的4SAT问题是NP-完全问题分两步：

1、精确的4SAT问题是NP问题

2、通过证明某NP-完全问题可以归约为精确的4SAT问题

首先证明精确的4SAT问题是NP问题。同8.3类似，将一组值代入一个4SAT实例中需要多项式时间来验证解的真假，因此4SAT问题是NP问题。

第二步是通过已知的NP-完全问题3SAT问题归约到4SAT问题来证明。

设3SAT的实例I=（a1V a2V a3）（a4 V a5 V a6）...（.anV an+1V an+2）

根据4SAT问题的条件，每个变量最多在每个子句中出现一次。如果某个变量在子句中出现多次，则缩减为1次。

如果某个子句中同时包含互反的两个变量，则将这两个变量同时去除。

接下来在各子句中添加1个变量，转化为4SAT。如（a1V a2V a3）转化为4SAT的实例（a1V a2V a3Vb）∧（a1V a2V a3V?b）

如果某组数值满足（a1V a2V a3），则它也同时满足（a1V a2V a3Vb）∧（a1V a2V a3V?b）。所以如果3SAT实例是可满足的，4SAT实例也是可满足的。

另外，如果（a1V a2V a3Vb）∧（a1V a2V a3V?b）是可满足的，由于b和?b是一真一假，所以可推出（a1V a2V a3）为真，3SAT的实例是可满足的。

结合上述两条可推出3SAT可归约为4SAT。

综上所述，4SAT问题是NP-完全问题。