信息学中的数论

Posted 2020-09-26

做oi题目的时候，遇到数论题会令我兴奋不已。

这一篇让我来聊一聊我学过的gcd，lcm，扩展欧几里得算法，逆元，组合数等。

这篇贴的代码都是未经过编译运行的，所以如果有错或有疑问请评论。

恩

那么什么是数论

和数学有关的非几何都是数论？

嘛，我也不知道定义，那么就草率地认为所有和数学有关的非计算几何知识都是数论吧。

 

我们先来聊一聊gcd。

这个东西，非常的有用。

它的名字叫最大公约数。

正常人都知道，有一个方法叫辗转相除法（证明略）：

int gcd(int a,int b)
{
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

我们默认gcd的时间复杂度是log的，你也可以认为是O(1)的，只不过它的最坏时间复杂度是log的。

不过像我这种渣渣貌似不是很会证明，感受一下是这样的。。

那么gcd讲完了。

 

我们来看lcm。

lcm的名字叫最小公倍数.

正常人都知道，gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b

那么只要求出gcd，就可以求出lcm了。

我们来证明一下，

假如a和b的gcd是g，那么设a=A*g，b=B*g，易证gcd(A,B)=1，

所以lcm(a,b)=lcm(A*g,B*g)=A*B*g=a*b/g

所以gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b。

这个东西，或许有用。

 

我们来讲一下扩展欧几里得算法。

假如我们要求一个不定方程ax+by=c的整数解（a,b,c都是非0整数）。

那么，这个不定方程有整数解。当且仅当c能被gcd(a,b)整除，

其必要性很好证明，由于以下解法，我们也能证明它的充分性。

我们假设，gcd(a,b)=g，c=C*g，那么ax+by=C*g

那么我们只要求出ax+by=g的解，就能求出原方程的解了。（在那基础上*C即可）

以下将说明

我们可以通过bx+(a%b)y=g的解，得到ax+by=g的解。这样我们就可以通过gcd(a,b)的递归过程来顺便求得不定方程的解。

假设，bx1+(a%b)y1=g①

ax2+by2=g，

已知x1,y1，求x2,y2。

方程①等价于bx1+(a-[a/b]*b)y1=g  这里[]符号是向下取整

那么bx1+(a-[a/b]*b)y1 = ax2+by2

b(x1-[a/b]*y1-y2) + a*(y1-x2) = 0

x2,y2的一个解就是{x2=y1,y2=x1-[a/b]*y1}

众所周知，正常的不定方程有无数解，

若x=X,y=Y是方程的一个解的话，

那么该不定方程的解集就是：x=X+kb，y=Y-ka，k*g为整数

于是我们得到以下代码：

int exgcd(int a,int b,int&x,int&y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    int x1,y1;
    int g=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1;y=x1-a/b*y1;
    return g;
}

扩展欧几里得算法，超级有用

 

那么重头戏来了。逆元，是个非常，非常，非常有用的东西。

几乎每道计数题，都要用到它。

在讲逆元之前，我们先来聊聊取模。

有一个东西叫同余方程，a≡b(mod p)  表示a%p=b%p。

由于中间那个符号太难打，我之后都会用第二种方法来表示啦。

我们来聊聊%的性质。

(a%p+b%p)%p = (a+b)%p

(a%p-b%p)%p = (a-b)%p

(a%p)*(b%p)%p = (a*b)%p 

有一些重要的定理（摘录自别的博客）：

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； 

还有一个重要的定理（费马小定理）：

当p为质数时，a^(p-1) %p=1。（这个很重要，不会证也得背下来）

还有另一个较完整的定理（欧拉定理）。感兴趣的话看 http://blog.csdn.net/qq_24451605/article/details/47045279

 

计数问题中，有很多答案都是非常非常大的，为了避免高精度，精简答案，许多任务都要求将答案对一个数p取模。

一个最简单的问题，求n!%p，很简单吧，都会吧。

那么如果求n!/m!%p呢？(m<=n)。

 

好了是时候来聊一聊逆元了

逆元的定义是这样的：

假如ax % p=1，

那么最小的正整数解x就是a的逆元。（如果无解的话，那就是没有逆元了）

那么，当p不相同的话，a的逆元也不同。

所以这个p很重要。

我们来想一下，假设我们要求(s/a) %p的值，

我们设x是a的逆元（%p意义下）

那么ax %p = 1

sax % p = s(ax%p) %p = s%p 

sx % p = s/a % p

所以，我们只要知道a的逆元，就可以求出(s/a) %p的值了。

当p是质数的时候：

因为a^(p-1) %p = 1（费马小定理），

所以a * a^(p-2) % p = 1

所以a^(p-2)就是a的逆元。

很完美吧。

那么有一种做法，就是当p是质数的时候，快速幂来求逆元。

那么如果p不是质数呢？

我们来想一下，ax % p =1

我们设ax = py +1（x,y均为整数），那么ax%p=1很显然吧

于是，ax-py = 1，ax + (-p) y =1

是不是很眼熟？求不定方程的整数解，扩展欧几里得算法！。

于是我们也知道，如果gcd(a,p)不为1的话，a就没有逆元了。

我们可以通过欧几里得算法，来求出该不定方程的一个解。

如果要使x为正整数且尽可能的小呢？

通过前面所说的：x=X+kb

我们将x赋为 (b+(x%b))%b 即可。（c++的取模运算会保留负号的）

那么，逆元的一部分就聊完了

 

我们来回顾一下

 

当p为质数，a^(p-2)是a的逆元，通过快速幂可求。

否则，可以用扩展欧几里得算法，设ax-py = 1，求得不定方程的解再转化，即可求逆元。

 

通过上面长长的赘述，

我们来聊一下组合数。

定义组合数C(n,m)为n!/m!/(n-m)!，

生活中的意义就是在n个不同的球里面无次序选m个球的方案数。

由于组合数可能非常巨大，

通常要求C(n,m)%p。

即求n!/m!/(n-m)!%p。

如果n<=1000000，m<=1000000

我们发现，除号后面的都是阶乘，

我们可以预处理阶乘，预处理阶乘的逆元，即可快速求组合数。

来思考一下，

当p是个质数的时候，求1000000个阶乘的逆元，每次快速幂很慢吧。

那么怎么快速求阶乘的逆元呢？

我们来想，假如x!的逆元是a，

那么 x! * a % p =1

于是(x-1)! * (x*a) % p =1

我们就知道了 (x-1)!的逆元 就是 x!的逆元*x%p

这样，先求出1000000!的逆元，再倒序求阶乘逆元，速度就非常快了。。

不过

有一些特殊情况：比如1000! % 300 =0

那么1000!就没有逆元了。

所以上述方法适用于p是质数且p>n,p>m的情况。

如果p不是质数？？如果p<=n或p<=m？？

自己去想吧，太晚了我该睡觉了。。