2017CodeM初赛A场

Posted 2020-09-26 人活着就是为了Chelly

A、最长树链（loj6159）

分析：

对于每个质因数，取出所有是它倍数的点组成一个树，然后找最长路径

每个数操作次数是其质因数的个数

所以总的复杂度不超过O(nlogA)

B、二分图染色（loj6160）

分析：

先转换模型——一个n*n的棋盘上，对于每个格子，可以下黑子，可以下白子，可以不下子，要求同一行同一列颜色相同的棋子最多只有一个

考虑黑白两种颜色不太好考虑，我们去考虑单个颜色

设An表示n*n的棋盘上，放若干个棋子，同一行同一列最多只有一个棋子的方案数

那么有An=ΣC(n,i)*P(n,i) （枚举哪些行放棋子，然后这些行棋子的列做排列）

再考虑两种颜色，我们把两个棋盘拼起来，发现矛盾点就是不能有格子既有黑子又有白子

那么想到容斥：An*An- 至少有一个格子重叠 + 至少有两个格子重叠 - 至少有三个格子重叠……

对于重叠怎么计算呢？一个格子如果重叠了，那么这个格子所在行列都不能放其它棋子了，所以这行这列相当于删去了

所以至少有i个格子重叠可以表示成：C(n,i)*P(n,i)*A(n-i)*A(n-i)

看一下时间复杂度，题目要求在线性时间内完成，求An就成为了一个问题

其实An可以递推求得：An=2nA(n-1)-(n-1)*(n-1)*A(n-2) （留个坑，暂时不太弄懂啥意思？）

C、倒水（loj6161）

分析：

容易发现当大水缸里水的容量介于水杯水之间的时候，一定是无解的

只有在两边才有解

如果在左边，那么答案一定是最小的那个；如果在右边，那么可以二分

D、身体训练（loj6162）

分析：

期望式子推一推就出来了

E、合并回文子串（loj6163）

分析：

考虑dp

dp[i][j][k][l]表示a[i..j]和b[k..l]结合能否成为一个回文串

那么显然一共有4种转移

注意下初值就行了

F、数列互质（loj6164）

分析：

第一想法肯定就是莫队，也容易想到记录当前区间每个数出现次数以及“出现次数”的出现次数

那么时间复杂度就是O(nsqrt(n)+m*MAX*logA)

其中MAX是出现次数的最大值，logA是求gcd的时间

如果MAX是根号级别的就好了，但明显此题中MAX会很大，那么怎么办呢？

我们可以先做一个这样的处理：挑出所有在数组中出现次数>=sqrt(n)的数字，把这些数字用一个桶一刷，求个前缀和，然后遍历所有询问，算这个数字对每个询问的贡献

因为出现次数>=sqrt(n)的数字个数肯定不会超过sqrt(n)个，所以这个的时间复杂度就是O(sqrt(n)*m)

然后对于那些出现次数<sqrt(n)的数字进行莫队，那么MAX就是sqrt(n)了

所以整个复杂度就是O(nsqrt(n)+msqrt(n)+m*sqrt(n)*logA)