[质因数分解]UVa10791 Minimum Sum LCM

Posted 2020-09-26

题目大意

输入整数n (1<=n<2^31)，求至少两个正整数，使得它们的最小公倍数为n，且这些整数的和最小，输出最小的和。

 

(LRJ小紫书P317页例题)

思考

看LRJ的分析没怎么看懂，随手搜了一篇题解。发现了一个讲的不错的，让我恍然大悟。

题解地址

首先假设我们知道了一系列数字a1，a2，a3……an，他们的LCM是n，那么什么时候他们是最优解呢，当他们两两互质的时候。

简单证明一下：

设两个正整数为a,b (a<=b) 其gcd(a,b)=n lcm(a,b)=m  sum = a + b

如果n!=1(a,b不互质) 那么我们在m不变的情况下 优化一下 a = a / n 

那么a变小后,sum必然减少。

 

那我们怎么保证两两互质呢？方法其实很简单，直接分解质因子。

 

所以我们已经得到了这个问题的解法

1.将一个数分解成质因子，将相同的因子乘起来作为一个处理后的因子

2.将处理后得到的多个因子直接相加就是答案

3.因为题目说只要需要两个数字，所以对于1和素数我们需要小心。对于素数，我们只能分解出一个因子就它自己，对于1一个因子都分解不出来（我们不把1当做因子），他们的答案都是n+1，因为只有1和n的LCM是n 。

 

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
typedef long long ll;

ll f[233],Count,n,ans;

void init(ll n){
    ll m = (ll)sqrt(n+1);
    Count=0;
    for(ll i=2;i<=m && n>1 ;i++){
        if(!(n%i)){
            ll fac=1;
            while(!(n%i) && n>1){
                fac*=i;
                n/=i;
            }
            f[Count++] = fac;
            //printf("Run\\n");
        }
    }
    if(n>1) f[Count++]=n;
}

int main(){
    int Case=0;
    while(scanf("%d",&n) && n!=0){
        ans=0;
        init(n);
        //printf("%d\\n",Count);
        if(!Count || Count==1) ans=n+1;
        else for(int i=0;i<Count;i++) ans+=f[i];
        printf("Case %d: %lld\\n",++Case,ans);
    }
    return 0;
}