数列题解（NOIP模拟T2）

Posted 2020-09-26

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数列题解（NOIP模拟T2）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

此文为博主原创题解，转载时请通知博主，并把原文链接放在正文醒目位置。

【题目描述】

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

【输入格式】

第一行一个整数T，表示询问个数。

以下T行，每行一个正整数n。

【输出格式】

每行输出一个非负整数表示答案。

【样例输入】

【样例输出】

【数据范围】

对于30%的数据 n<=100；

对于60%的数据 n<=2*10^7；

对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；

分析：

数据范围到了二十亿，显然不优化是绝对要TLE的（事实表明暴力只有60分）

由于这是一个加和递推式的形式，所以采用（矩阵）快速幂。

大佬说只要是形似这样的加和的题都可以用矩阵来解。

下面是AC代码，注释已经写得很详细了不再多说。矩阵这东西还是应该找人来讲，文字叙述起来太困难。

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 
  6 using namespace std;
  7 const int INF = 0x3f3f3f3f;
  8 const int MOD = 1000000007;
  9 
 10 long long s1[10][10],s2[10];
 11 long long tmp[10][10],base[10][10],ans[10][10];
 12 
 13 long long pow(int b)
 14 {
 15     for(int i = 1;i <= 4;i ++)
 16     {
 17         ans[i][i] = 1;
 18         for(int j = 1;j <= 4;j ++)
 19             base[i][j] = s1[i][j] % MOD;
 20     }
 21     //初始化ans为单位矩阵，base为构造矩阵
 22     //以后每次数列+n时只需*base^n
 23     while(b)
 24     {
 25         //b的值不为零，也就是二进制表示中还有1
 26         if(b & 1)
 27         {
 28             for(int i = 1;i <= 4;i ++)
 29                 for(int j = 1;j <= 4;++ j)
 30                     tmp[i][j] = ans[i][j] % MOD;
 31             //b&1判断当前位是否为1，是的话就用tmp存储ans
 32             memset(ans,0,sizeof(ans));
 33             
 34             for(int k = 1;k <= 4;k ++)
 35                 for(int i = 1;i <= 4;i ++)
 36                     for(int j = 1;j <= 4;j ++)
 37                         ans[i][j] += ((tmp[i][k] % MOD) * (base[k][j] % MOD)); 
 38             //用tmp与base做矩阵乘法，求出ans 
 39         }
 40          
 41         for(int i = 1;i <= 4;i ++)
 42              for(int j = 1;j <= 4;j ++)
 43                  tmp[i][j] = base[i][j] % MOD;
 44         //用tmp存储base
 45         
 46         memset(base,0,sizeof(base));
 47         
 48         
 49         for(int k = 1;k <= 4;k ++)
 50             for(int i = 1;i <= 4;i++)
 51                 for(int j = 1;j <= 4;j ++)
 52                     base[i][j] += ((tmp[i][k] % MOD) * (tmp[k][j] % MOD));
 53         //计算出新的base = base * base,实际上是倍增求base 
 54         b >>= 1;        
 55     }
 56     return ((((ans[1][1]%MOD) * (s2[1]%MOD) % MOD) + ((ans[1][2]%MOD) * (s2[2]%MOD) % MOD))%MOD + (((ans[1][3]%MOD) *(s2[3]%MOD)) % MOD + ((ans[1][4]%MOD) * (s2[4]%MOD)) % MOD)%MOD) % MOD;
 57     //返回的是ans与s2的乘积，此时ans为base的n次方，n与题目中的n相统一 
 58 } 
 59 int main()
 60 {
 61     int t,n;
 62     scanf("%d",&t);
 63     while(t)
 64     {
 65         scanf("%d",&n);
 66         if((n == 1) || (n == 2) || (n == 3))
 67         {
 68             printf("1\\n");
 69             -- t;
 70             continue;
 71         }
 72         else if(n == 4)
 73         {
 74             printf("2\\n");
 75             -- t;
 76             continue;
 77         }
 78         else if(n == 5)
 79         {
 80             printf("3\\n");
 81             -- t;
 82             continue;
 83         }
 84         memset(base, 0, sizeof(base));
 85         memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
 86         memset(ans, 0, sizeof(ans));
 87         
 88         s2[1] = 3 ;s2[2] = 1;s2[3] = 1;s2[4] = 1;
 89         //手算推出计算an需要an-2、an-3、an-4
 90         //由上面四个量可以推出an+1、an-1、an-2、an-3
 91         s1[1][1] = 1;s1[1][2] = 1;s1[1][3] = 0;s1[1][4] = 0;
 92         s1[2][1] = 0;s1[2][2] = 1;s1[2][3] = 0;s1[2][4] = 1;
 93         s1[3][1] = 0;s1[3][2] = 1;s1[3][3] = 0;s1[3][4] = 0;
 94         s1[4][1] = 0;s1[4][2] = 0;s1[4][3] = 1;s1[4][4] = 0;
 95         long long a = pow(n - 5) % MOD;
 96         printf("%lld\\n",a);
 97         -- t;
 98     } 
 99     return 0;
100 }