hd 1207（四汉诺塔）

Posted 2020-06-24

三个汉诺塔算法

　　 f(n)=2^n-1

两个思路大同小异

Frame算法

　　在1941年，一位名叫J. S. Frame的人在《美国数学月刊》上提出了一种解决四柱汉诺塔问题的算法，这是人们熟知的Frame算法：

　　（1）用4柱汉诺塔算法把A柱上部分的n- r个碟子通过C柱和D柱移到B柱上【F(
　　n- r )步】。

　　（2）用3柱汉诺塔经典算法把A柱上剩余的r个碟子通过C柱移到D柱上【2^r-1步】。

　　（3）用4柱汉诺塔算法把B柱上的n-r个碟子通过A柱和C柱移到D柱上【F(n-r)步】。

　　（4）依据上边规则求出所有r（1≤r≤n）情况下步数f(n)，取最小值得最终解。

　　因此Frame算法的递归方程如下：

　　F(n)=min(2*F(n-r)+2^r-1)，（1≤r≤n）。

变体汉诺塔

    问题描述：在经典汉诺塔的基础上加一个条件，即，如果再加一根柱子（即现在有四根柱子a,b,c,d)，计算将n个盘从第一根柱子(a)全部移到最后一根柱子(d)上所需的最少步数，当然，也不能够出现大的盘子放在小的盘子上面。注：1<=n<=64;

分析：设F[n]为所求的最小步数，显然，当n=1时，F[n]=1;当n=2时，F[n]=3;如同经典汉诺塔一样，我们将移完盘子的任务分为三步：

（1）将x(1<=x<=n)个盘从a柱依靠b,d柱移到c柱，这个过程需要的步数为F[x];

（2）将a柱上剩下的n-x个盘依靠b柱移到d柱（注：此时不能够依靠c柱，因为c柱上的所有盘都比a柱上的盘小）

     些时移动方式相当于是一个经典汉诺塔，即这个过程需要的步数为2^(n-x)-1（证明见再议汉诺塔一）；

（3）将c柱上的x个盘依靠a,b柱移到d柱上，这个过程需要的步数为F[x];

第（3）步结束后任务完成。

故完成任务所需要的总的步数F[n]=F[x]+2^(n-x)-1+F[x]=2*F[x]+2^(n-x)-1;但这还没有达到要求，题目中要求的是求最少的步数，易知上式，随着x的不同取值，对于同一个n，也会得出不同的F[n]。即实际该问题的答案应该min{2*F[x]+2^(n-x)-1},其中1<=x<=n;在用高级语言实现该算法的过程中，我们可以用循环的方式，遍历x的各个取值，并用一个标记变量min记录x的各个取值中F[n]的最小值。