hdu 5015 233 Matrix (矩阵快速幂)

Posted 2020-09-25 simpleknight

题意： 有一种矩阵，它的第一行是这样一些数：a  _0,0 = 0, a _0,1 = 233,a _0,2 = 2333,a _0,3 = 23333... 除此之外，在这个矩阵里, 我们有 a _i,j = a _i-1,j +a _i,j-1( i,j ≠ 0).现在给你 a _1,0,a _2,0,...,a _n,0, 你能告诉我a _n,m 是多少吗？ n,m(n ≤ 10,m ≤ 10 ⁹)输出 a _n,m mod 10000007.

 

思路：首先我们观察n和m的取值范围，会发现n非常小而m却非常大，如果能从左往右递推就好了，然而我们是可以实现的

           观察第一列    我们可以将其变化一下  那么第二列                         我们再将他们看成新的ai

           0                        23                              23*10+3                              就可以进行递推了

           a1                      a1                              23*10+3+a1

           a2                      a2                              23*10+3+a1+a2

           a3                      a3                              23*10+3+a1+a2+a3

           a4                      a4                              23*10+3+a1+a2+a3+a4

           ...                       ...                               ...

           an                      an                              23*10+3+a1+..an

          构造矩阵

          anm                    1 1 1 .......1 10 1      anm-1

          an-1m                 0 1 1 .......1 10 1      an-1m-1 

          an-2m                 0 0 1 .......1 10 1      an-2m-1

          an-3m         =      0 0 0........1 10 1      an-3m-1

             ...                     ...........................     ......

           a0m                   0 0 0 .......0 10 1       a0m-1

            3                       0 0 0 .......0  0  1        3

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>

#define ll long long
#define mod 10000007

using namespace std;

int N,M,P;

struct Matrix
{
    ll m[12][12];
};

Matrix I,A;

Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<M;j++)
        {
            ans.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<P;k++)
            {
                ans.m[i][j]+=(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
            }
            ans.m[i][j]%=mod;
        }
    }
    return ans;
}

Matrix power(Matrix a,ll b)
{
    Matrix ans=I;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=multi(ans,a);
        }
        b=b/2;
        a=multi(a,a);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n,m;
    int a[12];
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>a[i];
        }
        memset(A.m,0,sizeof(A.m));
        for(int i=0;i<=n+1;i++)
        {
            for(int j=i;j<=n+1;j++)
            {
                if(j!=n) A.m[i][j]=1;
                else A.m[i][j]=10;
            }
        }
        memset(I.m,0,sizeof(I.m));
        for(int i=0;i<=n+1;i++)
            I.m[i][i]=1;
        N=M=P=n+2;
        Matrix ans=power(A,m);
        ll num=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            num=(num+(ans.m[0][i]*a[n-i-1])%mod)%mod;
        num=(num+(ans.m[0][n]*23)%mod)%mod;
        num=(num+(ans.m[0][n+1]*3)%mod)%mod;
        cout<<num<<endl;
    }
    return 0;
}