小波分析笔记一:小波产生的背景和历史

Posted

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了小波分析笔记一:小波产生的背景和历史相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

最近在看哈工大教授冉启文的小波分析的视频,讲的非常好,推荐给大家。

这里是第一讲笔记。


第一讲:小波产生的背景和历史


一、“点”的概念(重要)

      1、以前我们认为在一维空间,点就是一个数;在二维空间,点就是两个数(x,y),N维空间的点   (x0,x1...xn)以此类推。

      2、线性代数就是在研究3个事情。

            (1)线性空间上的点怎么表达

            (2)点怎么巧妙的表达

            (3)同一个点在不同“基”之下的表示方法之间有什么关系。

      3、把N维空间所有点都直接表示出来是不可能的,所以引入了“基”的概念:用更少的资源把要表达的对象全部表达出来的方法。

      4、对于同样一个点(信号),针对不同的问题,应该采用不同的基。

      5、不同“基”之间的转换关系是一个转换矩阵,而且是一个可逆的矩阵!而且,把一个标准正交基转化为另一个标准正交基的矩阵就是正交矩阵。如果都是标准正交基的话,一个向量的长度是不会变的!

      6、复杂的点:

            (1)点 = 数列

              P(......x-1,x0,x1.......xn)    这些点平方可和,也就是能量有限

            (2)进一步复杂:点 = 函数

             如果让你表示一个N维的点,要如何表达呢?如何表达才让别人容易接受。这个N维空间的点太抽象了,无法 像二维,3维那样简单的作图。所以这时候就要引入 点=函数这个概念,用函数来表示N维的点,即将空间的“基”看作横坐标,纵坐标为幅值,那么将这些点连起来,就是一条折线。那么这条折线就代表这个N维空间中的一个点。

      7、点 = 函数

       (1)周期函数

                   常见的就是f(x+2pi) = f(x)

                   且f(x)在一个周期内能量有限

                   (0,2pi)的空间内点的表达

       (2)非周期函数

                   f(x)在正负无穷内能量有限

                   (-∞,+∞)的空间内点的表达

      8、傅里叶分析

              1807年傅里叶提出。

              对调和分析的推动作用在于,当我们想要分析一个函数时,如果这个函数很难分析,我们可以转化一下这个函数的基去分析,就像我们在线性代数中对点的分析一样。

      9、傅里叶变换

             1908(1910) Haar构造了一个函数h(t),具体请参考相关资料。但是当时未引起任何注意,直到1980年之后的小波盛行。

             他这说明了傅里叶变换其实没什么特别有意义的东西,傅里叶变换只是使用了三角函数作为基,而我完全可以使用其他函数作为基嘛,比如h(t)

   

     10、加窗傅里叶变换

            (1) 意义:f(t)在时间点 t0 附近的频率成分(Gabor 1946)   -------局部频率的概念,悖论:瞬时频率,只出现一下,算是无限高的频率还是某个频率呢?

            (2)加窗傅里叶的问题:窗的宽度与频率的不匹配,高频窄窗,低频宽窗。

            (3)1978年解决了上述问题

            (4)1980‘s  Morlet小波。

       

      11、傅里叶变换的缺陷

             只能判断信号中有这个频率,却不能判断这个频率出现的时间。那么加窗傅里叶呢?下回分析


以上是关于小波分析笔记一:小波产生的背景和历史的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

小波分析一小波分析入门基础介绍

小波分析一小波分析入门基础介绍

数字信号分析基于matlab小波变换气象数据分析(小波系数小波方差小波模小波模平方)含Matlab源码 2409期

小波分析三正交小波的构造

小波分析三正交小波的构造

MATLAB 小波分析