二叉树

Posted 鹏达君

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了二叉树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、树

树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支,并具有层次关系的结构。它非常类似于自然界中的树。树结构在客观世界中是大量存在的,例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。树在计算机领域中也有着广泛的应用,例如在编译程序中,用树来表示源程序的语法结构;在数据库系统中,可用树来组织信息;在分析算法的行为时,可用树来描述其执行过程。本章重点讨论二叉树的存储表示及其各种运算,并研究一般树和森林与二叉树的转换关系,最后介绍树的应用实例。


关于树的一些术语
    节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;如上图A结点的度为3,B结点的度为2,c结点的度为1,D结点的度为3。
    叶节点或终端节点:度为零的节点称为叶节点;E、F、G、H、I 以及J度都为0
    非终端节点或分支节点:度不为零的节点;
    双亲节点或父节点:若一个结点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
    孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
    兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
    树的高度或深度:定义一棵树的根结点层次为1,其他节点的层次是其父结点层次加1。一棵树中所有结点的层次的最大值称为这棵树的深度。节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推;

    树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;

    树的度是指每个节点孩子的最大数量,上图是3(D点最大是3),而树深度是指树有几层,上图是3

    节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
    子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

    森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

层次遍历为:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10


二、二叉树

2.1、二叉树的相关概念

二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集,它或者是空集(n=0),或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

完全二叉树:若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。


 2.2、二叉树的性质:

(1) 在二叉树中,第i层的结点总数不超过2^(i-1)。
(2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1),最少有h个结点。
(3) 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1。
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int[(log2n)]+1。
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储,则结点之间有如下关系:若I为结点编号则 如果I<>1,则其父结点的编号为I/2;如果2*I<=N,则其左儿子(即左子树的根结点)的编号为2*I;若2*I>N,则无左儿子;如果2*I+1<=N,则其右儿子的结点编号为2*I+1;若2*I+1>N,则无右儿子。
(6)给定N个节点,能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
(7)设有i个枝点,I为所有枝点的道路长度总和,J为叶的道路长度总和J=I+2i


 

2.3、二叉树的建立

广义表(Lists,又称列表)是一种非线性的数据结构,是线性表的一种推广。即广义表中放松对表元素的原子限制,容许它们具有其自身结构。它被广泛的应用于人工智能等领域的表处理语言LISP语言中。在LISP语言中,广义表是一种最基本的数据结构,就连LISP 语言的程序也表示为一系列的广义表。(关于广义表的概念,请查看百科的介绍:http://baike.baidu.com/view/203611.htm)
首先,我们采用广义表建立二叉树。我们建立一个字符串类型的广义表作为输入:
String expression = "A(B(D(,G)),C(E,F))";与该广义表对应的二叉树为:
写代码前,我们通过观察二叉树和广义表,先得出一些结论:
    每当遇到字母,将要创建节点
    每当遇到“(”,表面要创建左孩子节点
    每当遇到“,”,表明要创建又孩子节点
    每当遇到“)”,表明要返回上一层节点

    广义表中“(”的数量正好是二叉树的层数


 

根据这些结论,我们基本就可以开始写代码了

二叉树的结点类:

public class Node { 
Object data; 
Node leftChild; 
Node rightChild; 

public Node() { 


public Node(Object data) { 
leftChild = null; 
rightChild = null; 
this.data = data; 


public Node(Object data, Node leftChild, Node rightChild) { 
this.data = data; 
this.leftChild = leftChild; 
this.rightChild = rightChild; 

}


 

根据广义表创建二叉树的代码如下:

//String expression = "A(B(D(,G)),C(E,F))" 
public Node createTree(String exp) { 
//这里长度定为3是因为建立二叉树后,树的层次是3大小 
Node[] nodes = new Node[3]; 

//node为要将表达式里字母转成节点 
Node root = null, node = null; 
int top = -1, k = 0, j = 0; 

char[] exps = exp.toCharArray(); 
char data = exps[j]; 

while (j < exps.length - 1) { 
switch (data) { 
case \'(\': 
top++; 
nodes[top] = node; 
k = 1; 
break; 
case \')\': 
top--; 
break; 
case \',\': 
k = 2; 
break; 
default: 
node = new Node(data, null, null); 
if (root == null) { 
root = node; 
} else { 
switch (k) { 
case 1: 
nodes[top].leftChild = node; 
break; 
case 2: 
nodes[top].rightChild = node; 
break; 



j++; 
data = exps[j]; 

return root; 
}

 

创建完全二叉树:

/** 
* 顺序方式存储,创建完全二叉树 
* <p/> 
* 算法思想:(根节点的下标是0) 
* 1、父节点与总节点的数字关系:父节点数 = 总节点/2 ; 
* 2、父节点与孩子节点的数字关系:左孩子 = parentIndex * 2 + 1 
* 右孩子 = parentIndex * 2 + 2 
* 3、对最后一个父节点要单独考虑,因为完全二叉树所有的结点都连续集中在最左边! 
* 如果总节点数是奇数,则有右孩子;如果是偶数,则无右孩子 
*/ 
public List<Node> createCompleteBinaryTree(int[] array) { 
List<Node> nodeList = new LinkedList<Node>(); 

// 将一个数组的值依次转换为Node节点 
for (int data : array) { 
nodeList.add(new Node(data)); 


// 对前lastParentIndex-1个父节点按照父节点与孩子节点的数字关系建立二叉树 
for (int parentIndex = 0; parentIndex < array.length / 2 - 1; parentIndex++) { 
// 左孩子 
nodeList.get(parentIndex).leftChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 1); 
// 右孩子 
nodeList.get(parentIndex).rightChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 2); 


// 最后一个父节点:因为最后一个父节点可能没有右孩子,所以单独拿出来处理 
int lastParentIndex = array.length / 2 - 1; 
// 左孩子 
nodeList.get(lastParentIndex).leftChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 1); 


// 右孩子,如果数组的长度为奇数才建立右孩子 
if ((array.length & 1) == 1) { //要添加括号,运算符有先后 
nodeList.get(lastParentIndex).rightChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 2); 


return nodeList; 
}

 

2.4、二叉树的递归遍历

先序遍历:1 2 4 5 3 6 
非递归前序遍历 1 2 4 5 3 6 
中序遍历:4 2 5 1 6 3 
非递归中序遍历 4,2,5,1,6,3,
后序遍历:4 5 2 6 3 1 
非递归后序遍历: 4 5 2 6 3 1 
层次遍历:1,2,3,4,5,6,

/****************遍历递归实现********************/ 
/** 
* 对指定二叉树执行先序遍历(根-左-右) 
* 递归的二叉树的根节点在什么位置,便是什么遍历 

* @param node 被遍历的二叉树根节点 
*/ 
public void preOrderTraverse(Node node) { 
if (node != null) { 
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根 
preOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树 
preOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树 



/** 
* 对指定的二叉树执行中序遍历(左-根-右) 
*/ 
public void inOrderTraverse(Node node) { 
if (node != null) { 
inOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树 
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根 
inOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树 



/** 
* 对指定的二叉树执行后序遍历(左-右-根) 
*/ 
public void postOrderTraverse(Node node) { 
if (node != null) { 
postOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树 
postOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树 
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根 

}

/****************遍历非递归实现********************/ 
/** 
* 非递归实现前序遍历 :根左右 
* <p/> 
* 算法思想:利用一个栈,先序遍历即为根先遍历 
* 这种实现类似于图的深度优先遍历(DFS) 
* 维护一个栈,将根节点入栈,然后只要栈不为空,出栈并访问,接着依次将访问节点的右节点、左节点入栈。 
* 这种方式应该是对先序遍历的一种特殊实现(看上去简单明了),但是不具备很好的扩展性,在中序和后序方式中不适用 
* <p/> 
* 有类似树的结构的遍历的递归转非递归都是由栈来实现,如查找文件夹里的所有文件 
*/ 
public void iterativePreOrder(Node root) { 
System.out.print("\\n非递归前序遍历 "); 
Stack<Node> stack = new Stack<Node>(); 
if (root != null) { 
stack.push(root); //入栈 

while (!stack.empty()) { 
root = stack.pop(); //出栈 
System.out.print(root.data + " "); 

if (root.rightChild != null) 
stack.push(root.rightChild); 

if (root.leftChild != null) 
stack.push(root.leftChild); 





/** 
* 非递归中序遍历(左根右) 

* 算法思想和上面的iterativePreOrder相同, 
* 只是访问的时间是在左子树都处理完直到null的时候出栈并访问。 
*/ 
public void iterativeInOrder(Node root) { 
System.out.print("\\n非递归中序遍历 "); 
if (root == null) 
return; 
Stack<Node> stack = new Stack<Node>(); 

while (root != null || !stack.isEmpty()) { 
while (root != null) { 
stack.push(root);//先访问再入栈 
root = root.leftChild; 

root = stack.pop(); //出栈 
System.out.print(root.data + ","); 

root = root.rightChild;//如果左子树是null,出栈并处理右子树 




/** 
* 非递归实现后序遍历 
*/ 
public void iterativePostOrder(Node root) { 
System.out.print("\\n非递归后序遍历: "); 
Node tempNode = root; 
Stack<Node> stack = new Stack<Node>(); 

while (root != null) { 
//左子树入栈 
for (; root.leftChild != null; root = root.leftChild) 
stack.push(root); 

// 当前节点无右子或右子已经输出 
while (root != null && 
(root.rightChild == null || root.rightChild == tempNode)) { 
System.out.print(root.data + " "); 

tempNode = root; //记录上一个已输出节点 
if (stack.empty()) 
return; 

root = stack.pop(); //出栈 


//处理右子 
stack.push(root); 

assert root != null; 
root = root.rightChild; 

}


 


* 层序遍历(有点类型先序遍历的非递归) 
* <p/> 
* 算法思想:用队列实现,先将根节点入队列,只要队列不为空, 
* 然后出队列,并访问,接着讲访问节点的左右子树依次入队列 

* @param root 被遍历的二叉树的根节点 
*/ 
public void levelTravel(Node root) { 
if (root == null) 
return; 

Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>(); 
queue.add(root); 

while (!queue.isEmpty()) { 
Node temp = queue.poll(); //出列 
System.out.print(temp.data + ","); 

if (temp.leftChild != null) 
queue.add(temp.leftChild); 

if (temp.rightChild != null) 
queue.add(temp.rightChild); 

}


 

2.5、树跟二叉树的转换

 

提醒:二叉树源码下载地址:

http://www.cnblogs.com/tanlon/p/4164309.html

 

以上是关于二叉树的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

二叉树及特殊二叉树(满二叉树完全二叉树二叉排序树平衡二叉树)的定义和性质(附详细推理过程)

二叉树二叉树的镜像

普通二叉树二叉查找树平衡二叉树常见操作汇总

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树二叉树满二叉树完全二叉树

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