二叉树

Posted 2020-09-23 鹏达君

一、树

树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支，并具有层次关系的结构。它非常类似于自然界中的树。树结构在客观世界中是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行过程。本章重点讨论二叉树的存储表示及其各种运算，并研究一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实例。

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关于树的一些术语
    节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图A结点的度为3，B结点的度为2，c结点的度为1，D结点的度为3。
    叶节点或终端节点：度为零的节点称为叶节点；E、F、G、H、I 以及J度都为0
    非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
    双亲节点或父节点：若一个结点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
    孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
    兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
    树的高度或深度：定义一棵树的根结点层次为1，其他节点的层次是其父结点层次加1。一棵树中所有结点的层次的最大值称为这棵树的深度。节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

    树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

    树的度是指每个节点孩子的最大数量，上图是3（D点最大是3），而树深度是指树有几层，上图是3

    节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
    子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

    森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

层次遍历为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10

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二、二叉树

2.1、二叉树的相关概念

二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

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 2.2、二叉树的性质：

(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)。
(2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点。
(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1。
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int[（log2n）]+1。
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则 如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
(7）设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i

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2.3、二叉树的建立

广义表(Lists，又称列表)是一种非线性的数据结构，是线性表的一种推广。即广义表中放松对表元素的原子限制，容许它们具有其自身结构。它被广泛的应用于人工智能等领域的表处理语言LISP语言中。在LISP语言中，广义表是一种最基本的数据结构，就连LISP 语言的程序也表示为一系列的广义表。（关于广义表的概念，请查看百科的介绍：http://baike.baidu.com/view/203611.htm）
首先，我们采用广义表建立二叉树。我们建立一个字符串类型的广义表作为输入：
String expression = "A(B(D(,G)),C(E,F))";与该广义表对应的二叉树为：
写代码前，我们通过观察二叉树和广义表，先得出一些结论：
    每当遇到字母，将要创建节点
    每当遇到“（”，表面要创建左孩子节点
    每当遇到“，”，表明要创建又孩子节点
    每当遇到“）”，表明要返回上一层节点

    广义表中“（”的数量正好是二叉树的层数

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根据这些结论，我们基本就可以开始写代码了

二叉树的结点类：

public class Node { 
Object data; 
Node leftChild; 
Node rightChild; 

public Node() { 
} 

public Node(Object data) { 
leftChild = null; 
rightChild = null; 
this.data = data; 
} 

public Node(Object data, Node leftChild, Node rightChild) { 
this.data = data; 
this.leftChild = leftChild; 
this.rightChild = rightChild; 
} 
}

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根据广义表创建二叉树的代码如下：

//String expression = "A(B(D(,G)),C(E,F))" 
public Node createTree(String exp) { 
//这里长度定为3是因为建立二叉树后，树的层次是3大小 
Node[] nodes = new Node[3]; 

//node为要将表达式里字母转成节点 
Node root = null, node = null; 
int top = -1, k = 0, j = 0; 

char[] exps = exp.toCharArray(); 
char data = exps[j]; 

while (j < exps.length - 1) { 
switch (data) { 
case \'(\': 
top++; 
nodes[top] = node; 
k = 1; 
break; 
case \')\': 
top--; 
break; 
case \',\': 
k = 2; 
break; 
default: 
node = new Node(data, null, null); 
if (root == null) { 
root = node; 
} else { 
switch (k) { 
case 1: 
nodes[top].leftChild = node; 
break; 
case 2: 
nodes[top].rightChild = node; 
break; 
} 
} 
} 
j++; 
data = exps[j]; 
} 
return root; 
}

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创建完全二叉树：

/** 
* 顺序方式存储，创建完全二叉树 
* <p/> 
* 算法思想：（根节点的下标是0） 
* 1、父节点与总节点的数字关系：父节点数 = 总节点/2 ; 
* 2、父节点与孩子节点的数字关系：左孩子 = parentIndex * 2 + 1 
* 右孩子 = parentIndex * 2 + 2 
* 3、对最后一个父节点要单独考虑，因为完全二叉树所有的结点都连续集中在最左边！ 
* 如果总节点数是奇数，则有右孩子;如果是偶数，则无右孩子 
*/ 
public List<Node> createCompleteBinaryTree(int[] array) { 
List<Node> nodeList = new LinkedList<Node>(); 

// 将一个数组的值依次转换为Node节点 
for (int data : array) { 
nodeList.add(new Node(data)); 
} 

// 对前lastParentIndex-1个父节点按照父节点与孩子节点的数字关系建立二叉树 
for (int parentIndex = 0; parentIndex < array.length / 2 - 1; parentIndex++) { 
// 左孩子 
nodeList.get(parentIndex).leftChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 1); 
// 右孩子 
nodeList.get(parentIndex).rightChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 2); 
} 

// 最后一个父节点:因为最后一个父节点可能没有右孩子，所以单独拿出来处理 
int lastParentIndex = array.length / 2 - 1; 
// 左孩子 
nodeList.get(lastParentIndex).leftChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 1); 


// 右孩子,如果数组的长度为奇数才建立右孩子 
if ((array.length & 1) == 1) { //要添加括号，运算符有先后 
nodeList.get(lastParentIndex).rightChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 2); 
} 

return nodeList; 
}

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2.4、二叉树的递归遍历

先序遍历：1 2 4 5 3 6 
非递归前序遍历 1 2 4 5 3 6 
中序遍历：4 2 5 1 6 3 
非递归中序遍历 4,2,5,1,6,3,
后序遍历：4 5 2 6 3 1 
非递归后序遍历: 4 5 2 6 3 1 
层次遍历：1,2,3,4,5,6,

/****************遍历递归实现********************/ 
/** 
* 对指定二叉树执行先序遍历（根-左-右） 
* 递归的二叉树的根节点在什么位置，便是什么遍历 
* 
* @param node 被遍历的二叉树根节点 
*/ 
public void preOrderTraverse(Node node) { 
if (node != null) { 
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根 
preOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树 
preOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树 
} 
} 

/** 
* 对指定的二叉树执行中序遍历（左-根-右） 
*/ 
public void inOrderTraverse(Node node) { 
if (node != null) { 
inOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树 
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根 
inOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树 
} 
} 

/** 
* 对指定的二叉树执行后序遍历（左-右-根） 
*/ 
public void postOrderTraverse(Node node) { 
if (node != null) { 
postOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树 
postOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树 
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根 
} 
}

/****************遍历非递归实现********************/ 
/** 
* 非递归实现前序遍历 :根左右 
* <p/> 
* 算法思想：利用一个栈，先序遍历即为根先遍历 
* 这种实现类似于图的深度优先遍历（DFS） 
* 维护一个栈，将根节点入栈，然后只要栈不为空，出栈并访问，接着依次将访问节点的右节点、左节点入栈。 
* 这种方式应该是对先序遍历的一种特殊实现（看上去简单明了），但是不具备很好的扩展性，在中序和后序方式中不适用 
* <p/> 
* 有类似树的结构的遍历的递归转非递归都是由栈来实现，如查找文件夹里的所有文件 
*/ 
public void iterativePreOrder(Node root) { 
System.out.print("\\n非递归前序遍历 "); 
Stack<Node> stack = new Stack<Node>(); 
if (root != null) { 
stack.push(root); //入栈 

while (!stack.empty()) { 
root = stack.pop(); //出栈 
System.out.print(root.data + " "); 

if (root.rightChild != null) 
stack.push(root.rightChild); 

if (root.leftChild != null) 
stack.push(root.leftChild); 
} 
} 

} 

/** 
* 非递归中序遍历(左根右) 
* 
* 算法思想和上面的iterativePreOrder相同， 
* 只是访问的时间是在左子树都处理完直到null的时候出栈并访问。 
*/ 
public void iterativeInOrder(Node root) { 
System.out.print("\\n非递归中序遍历 "); 
if (root == null) 
return; 
Stack<Node> stack = new Stack<Node>(); 

while (root != null || !stack.isEmpty()) { 
while (root != null) { 
stack.push(root);//先访问再入栈 
root = root.leftChild; 
} 
root = stack.pop(); //出栈 
System.out.print(root.data + ","); 

root = root.rightChild;//如果左子树是null，出栈并处理右子树 
} 

} 

/** 
* 非递归实现后序遍历 
*/ 
public void iterativePostOrder(Node root) { 
System.out.print("\\n非递归后序遍历: "); 
Node tempNode = root; 
Stack<Node> stack = new Stack<Node>(); 

while (root != null) { 
//左子树入栈 
for (; root.leftChild != null; root = root.leftChild) 
stack.push(root); 

// 当前节点无右子或右子已经输出 
while (root != null && 
(root.rightChild == null || root.rightChild == tempNode)) { 
System.out.print(root.data + " "); 

tempNode = root; //记录上一个已输出节点 
if (stack.empty()) 
return; 

root = stack.pop(); //出栈 
} 

//处理右子 
stack.push(root); 

assert root != null; 
root = root.rightChild; 
} 
}

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* 层序遍历（有点类型先序遍历的非递归） 
* <p/> 
* 算法思想：用队列实现，先将根节点入队列，只要队列不为空， 
* 然后出队列，并访问，接着讲访问节点的左右子树依次入队列 
* 
* @param root 被遍历的二叉树的根节点 
*/ 
public void levelTravel(Node root) { 
if (root == null) 
return; 

Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>(); 
queue.add(root); 

while (!queue.isEmpty()) { 
Node temp = queue.poll(); //出列 
System.out.print(temp.data + ","); 

if (temp.leftChild != null) 
queue.add(temp.leftChild); 

if (temp.rightChild != null) 
queue.add(temp.rightChild); 
} 
}

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2.5、树跟二叉树的转换

 

提醒：二叉树源码下载地址：

http://www.cnblogs.com/tanlon/p/4164309.html