算术表达式的前缀表达式，中缀表达式和后缀表达式

Posted 2020-09-23 bili111

这里所谓的前缀，中缀，后缀是根据操作符的位置来定的，如果操作符在操作数前面，则称为前缀表达式，例如“- + 1 × + 2 3 4 5”;如果操作符在操作数之间，则称为中缀表达式，例如

“1+((2+3)×4)-5”;如果操作符在操作数后面，则称为后缀表达式，例如“1 2 3 + 4 × + 5 -”。

 

虽然中缀表达式符合人类的日常思维习惯，但是计算机在存储中缀表达式时，需要使用树这种数据结构，如果表达式过于复杂，那么树的高度会变得很高，大大增加了时间复杂度和空间复杂度。如果转换成线性结构，那么效率将变得高很多，所以需要将中缀表达式先转换成前缀或者后缀表达式，然后依靠栈这种线性数据结构来进行计算。

 

前缀表达式又叫波兰表达式，后缀表达式又叫逆波兰表达式。前缀表达式基本没有在商业计算机中使用过，所以现实中用的更多的是后缀表达式。

 

如何将中缀表达式转化成后缀表达式呢？

利用两个栈S1，S2：其中S1存放操作符，S2存放操作数

从左往右遍历中缀表达式，如果遇到数字，则放入S2中，如果遇到操作符，则放入S1中。在放操作符的时候有一定的规则，如果栈为空或栈顶元素为（，则直接压栈。如果是(，也直接压栈;如果栈顶元素为普通操作符，则比较优先级，如果待压栈的操作符比栈顶操作符优先级高，则直接压栈，否则将S1中的栈顶元素出栈，并压入S2中，再接着比较S1栈顶元素的优先级。如果遇到)，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃。最后将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2，逆序输出S2（从栈底到栈顶）便得到了后缀表达式。（注意：等号的优先级最低，因为要到最后才进行赋值操作）

 

得到后缀表达式之后，计算就变得方便多了，遇到数字就压栈，遇到操作符的时候，pop出栈顶的两个元素，进行计算后将结果又压入栈中，这样一直下去，直到得到最终结果。

 

将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：

扫描到的元素	S2(栈底->栈顶)	S1 (栈底->栈顶)	说明
1	1	空	数字，直接入栈
+	1	+	S1为空，运算符直接入栈
(	1	+ (	左括号，直接入栈
(	1	+ ( (	同上
2	1 2	+ ( (	数字
+	1 2	+ ( ( +	S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
3	1 2 3	+ ( ( +	数字
)	1 2 3 +	+ (	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
×	1 2 3 +	+ ( ×	S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
4	1 2 3 + 4	+ ( ×	数字
)	1 2 3 + 4 ×	+	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
-	1 2 3 + 4 × +	-	-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
5	1 2 3 + 4 × + 5	-	数字
到达最右端	1 2 3 + 4 × + 5 -	空	S1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（需要逆序输出）