POJ3904 Sky Code容斥原理

Posted 2020-09-23 zhchoutai

题目链接：

http://poj.org/problem?id=3904

题目大意：

给你N个整数。从这N个数中选择4个数，使得这四个数的公约数为1。求满足条件的

四元组个数。

解题思路：

四个数的公约数为1。并不代表四个数两两互质。比方(2，3，4，5)公约数为1，可是

2和4并不互质。

从反面考虑。先求出四个数公约数不为1的情况个数，用总的方案个数

减去四个数公约数不为1的情况个数就是所求。

求四个数公约数不为1的情况个数，须要将N个数每一个数质因数分解，纪录下全部不同

的素因子所能组成的因子(就是4个数的公约数)，并统计构成每种因子的素因子个数。

和因子总数。然后再计算组合数。

比方说因子2的个数为a，则四个数公约数为2的个数

为C(a。4)。因子3的个数为b。则四个数公约数为3的个数为C(b。4)，因子6(2*3)的个

数为c，则四个数公约数的个数为C(c。4)。

可是公约数为2的情况中或者公约数为3的情况中可能包含公约数为6的情况，相当于几

个集合求并集。这就须要容斥定理来做。详细參考代码。

參考博文：http://blog.csdn.net/qiqijianglu/article/details/8009108

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL __int64
using namespace std;

LL C(LL N) //计算 C(N,4)
{
    return N * (N-1) * (N-2) * (N-3) / 24;
}

LL Factor[10010],ct,Count[10010],Num[10010];
//Count[]纪录当前因子的个数，Num[]纪录当前因子是由几个素因子组成(用于容斥定理的奇加偶减)
void Divide(LL N)   //将N分解质因数
{
    ct = 0;
    for(int i = 2; i <= sqrt(N*1.0); ++i)
    {
        if(N % i == 0)
        {
            Factor[ct++] = i;
            while(N % i == 0)
                N /= i;
        }
    }
    if(N != 1)
        Factor[ct++] = N;
}

void Solve(LL N)    //二进制实现容斥原理
{
    Divide(N);
    for(int i = 1; i < (1 << ct); ++i)
    {
        LL tmp = 1;
        LL odd = 0;
        for(int j = 0; j < ct; ++j)
        {
            if((1 << j) & i)
            {
                odd++;
                tmp *= Factor[j];
            }
        }
        Count[tmp]++;
        Num[tmp] = odd;
    }
}

int main()
{
    LL N,M;
    while(~scanf("%I64d",&N))
    {
        memset(Count,0,sizeof(Count));
        for(int i = 0; i < N; ++i)
        {
            scanf("%I64d",&M);
            Solve(M);
        }
        LL ans = 0;
        for(int i = 0; i <= 10000; ++i) //容斥
        {
            if(Count[i])
            {
                if(Num[i] & 1)
                    ans += C(Count[i]);
                else
                    ans -= C(Count[i]);
            }
        }
        printf("%I64d\n",C(N) - ans);   //结果为C(N,4) - ans
    }

    return 0;
}