bzoj4916 神犇和蒟蒻

Posted 2020-09-22 wfj_2048

Description

很久很久以前，有一只神犇叫yzy;

很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty; 

Input

请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;

Output

请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)};

请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)};

Sample Input

1

Sample Output

1
1

 

正解：杜教筛。

第一问答案是$1$。

第二问，先给个结论：$\varphi (n^{2})=n\varphi (n)$，于是我们要求$F(n)=\sum_{i=1}^{n}i\varphi (i)$。

设$f(n)=n\varphi (n)$，考虑$f$与$id$函数的狄利克雷卷积，$id*f(n)=\sum_{d|n}id(d)f(\frac{n}{d})$

$id*f(n)=n\sum_{d|n}\varphi (\frac{n}{d})=n^{2}$，那么$\sum_{i=1}^{n}id*f(i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

又$\sum_{i=1}^{n}id*f(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}id(d)f(\frac{n}{d})=\sum_{ij\leq n}id(i)f(j)=\sum_{i=1}^{n}id(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

于是$F(n)=id(1)F(n)=\sum_{i=1}^{n}id*f(i)-\sum_{i=2}^{n}id(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^{n}id(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

然后直接用杜教筛的套路：数论分块+记忆化搜索就行了。

 

 1 //It is made by wfj_2048~
 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdlib>
 6 #include <cstdio>
 7 #include <vector>
 8 #include <cmath>
 9 #include <queue>
10 #include <stack>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #define rhl (1000000007)
14 #define N (3000010)
15 #define inf (1<<30)
16 #define il inline
17 #define RG register
18 #define ll long long
19 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
20 
21 using namespace std;
22 
23 int vis[N],phi[N],prime[N],n,maxn,cnt;
24 ll f[N],In2,In6;
25 
26 map <ll,ll> F,vi;
27 
28 il int gi(){
29     RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
30     while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
31     if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
32     while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
33     return q*x;
34 }
35 
36 il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
37     RG ll ans=1;
38     while (b){
39     if (b&1) ans=ans*a%rhl;
40     a=a*a%rhl,b>>=1;
41     }
42     return ans;
43 }
44 
45 il void sieve(){
46     phi[1]=f[1]=1;
47     for (RG int i=2;i<=maxn;++i){
48     if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
49     for (RG int j=1,k;j<=cnt;++j){
50         k=i*prime[j]; if (k>maxn) break; vis[k]=1;
51         if (i%prime[j]) phi[k]=phi[i]*phi[prime[j]];
52         else{ phi[k]=phi[i]*prime[j]; break; }
53     }
54     }
55     for (RG int i=2;i<=maxn;++i) f[i]=(f[i-1]+(ll)i*(ll)phi[i])%rhl; return;
56 }
57 
58 il ll du(RG ll n){
59     if (n<=maxn) return f[n]; if (vi[n]) return F[n];
60     RG ll ans=n*(n+1)%rhl*(2*n+1)%rhl*In6%rhl,pos; vi[n]=1;
61     for (RG ll i=2;i<=n;i=pos+1){
62     pos=n/(n/i);
63     ans-=(i+pos)*(pos-i+1)%rhl*du(n/i)%rhl*In2%rhl;
64     if (ans<0) ans+=rhl;
65     }
66     return F[n]=ans;
67 }
68 
69 il void work(){
70     n=gi(),puts("1"),maxn=min(3000000,n),sieve();
71     In2=qpow(2,rhl-2),In6=qpow(6,rhl-2);
72     printf("%lld\n",du(n)); return;
73 }
74 
75 int main(){
76     File("phi");
77     work();
78     return 0;
79 }