微软大楼设计方案（中等） 推公式+RMQ问题

Posted 2020-09-21 狡啮之仰

近日，微软新大楼的设计方案正在广泛征集中，其中一种方案格外引人注目。在这个方案中，大楼由 nn 栋楼组成，这些楼从左至右连成一排，编号依次为 11 到 nn，其中第 ii 栋楼有 h_ih​i​​层。每栋楼的每一层为一个独立的 办公区域，可以步行 直达同层相邻楼栋的办公区域，以及 直达同楼栋相邻楼层的办公区域。

由于方案设计巧妙，上一层楼、下一层楼、向左右移动到相邻楼栋同层的办公区域均刚好需要 11 分钟。在这些办公区域中，有一些被 核心部门 占用了（一个办公区域内最多只有一个核心部门），出于工作效率的考虑，微软希望核心部门之间的移动时间越短越好。对于一个给定的 最大移动时间 kk，大楼的 协同值 定义为：有多少个 核心部门对 之间的移动时间不超过 kk。由于大楼门禁的限制，不可以走出整个大楼，也不可以登上天台思考人生。你可以认为在办公区域内的移动时间忽略不计，并且在大楼内总是按照最优方案进行移动。

对于一个给定的新大楼设计方案，你能算出方案的协同值么？

输入格式

第一行包含两个正整数 n,k(1\\leq k\\leq 200020)n,k(1≤k≤200020)，分别表示大楼的栋数以及最大移动时间。

第二行包含 nn 个正整数 h_1,h_2,...,h_n(1\\leq h_i\\leq 20)h​1​​,h​2​​,...,h​n​​(1≤h​i​​≤20)，分别表示每栋楼的层数。

接下来一行包含一个正整数 mm，表示 核心部门 个数。

接下来 mm 行，每行两个正整数 x_i,y_i(1\\leq x_i\\leq n,1\\leq y_i\\leq h_{x_i})x​i​​,y​i​​(1≤x​i​​≤n,1≤y​i​​≤h​x​i​​​​)，表示该核心部门位于第 x_ix​i​​ 栋楼的第 y_iy​i​​ 层。

输入数据保证 mm 个核心部门的位置不会重复。

对于简单版本：1\\leq n,m\\leq 501≤n,m≤50；

对于中等版本：1\\leq n\\leq 200000,1\\leq m\\leq 20001≤n≤200000,1≤m≤2000；

对于困难版本：1\\leq n,m\\leq 2000001≤n,m≤200000。

输出格式

输出一个整数，即整个大楼的 协同值。

样例解释

样例对应题目描述中的图，核心部门 11 和核心部门 33 之间的距离为 8>78>7，因此不能计入答案。

样例输入

5 7
4 1 1 3 1
3
1 4
3 1
4 3

样例输出

2

首先我们必须知道怎么走最短
一开始我意识到这是个动态的情况，涉及多个变量
但这个问题好解决，如果答案关于多个变量单调，则我们可用树型数据结构快速求极值，线段树和ST表均可以
对于简单版本，数据范围小，上来写了个BFS，这没说的
但我们仔细观察一下就会发现，从一个部门走到另外一个部门，无非横向距离和纵向距离之加和
分开考虑的话，横向的距离一定不会超过|xa-xb|
纵向就值得思考了，由于观察到，

中间太高的楼层，上去是没有意义的，因为要联通才行，所以你提前上去是要走回头路的

对于这个题，只要不走回头路，也就是横纵的移动向量尽量重叠部分少就是最短的

然后你发现，如果你走到最下面那条线以下也是不好的，因为你还得上去

因此我们只要这三个方向的移动距离都加起来就好了

此处不妨设xb>xa

记hm=min{ya,yb,hxa,hxa+1,....,hxb}

则第一段是ya-hm+

第二段是xb-xa+

第三段是yb-hm

所以答案就是xb-xa+(ya+yb)-hm

利用RMQ，hm可以O(1)求出，预处理nlogn,排序mlogm,统计答案m^2,总复杂度，(nlogn+m^2)