uva 10900 So you want to be a 2n-aire?

Posted 2020-09-21 日拱一卒 功不唐捐

https://vjudge.net/problem/UVA-10900

     在一个电视娱乐节目中，你一开始有1元钱。主持人会问你n个问题，每次你听到问题后有两个选择：一是放弃回答该问题，退出游戏，拿走奖金；二是回答问题。如果回答正确，奖金加倍；如果回答错误，游戏结束，你一分钱也拿不到。如果正确地回答完所有n个问题，你将拿走所有的2 n 元钱，成为2 n 元富翁。当然，回答问题是有风险的。每次听到问题后，你可以立刻估计出答对的概率。由于主持人会随机问问题，你可以认为每个问题的答对概率在t和1之间均匀分布。输入整数n和实数t（1≤n≤30，0≤t≤1），你的任务是求出在最优策略下，拿走的奖金金额的期望值。这里的最优策略是指让奖金的期望值尽量大。

 

最优策略，说明一定只答对题

dp[i]表示答对i道题，获得奖金的期望最大值

假设当前已经答对了i道题，得到了2^i元

如果 p*dp[i+1]>2^i，那么他一定会选择答题

所以首先算出这个分界p

如果t>=p, 那就答题，dp[i]=（1+t）/2 * dp[i+1]

否则，分（t——p，停止答题）和（p——1继续答题）讨论

∴dp[i]=（p-t）/（1-t）*2^i + （1-p）/（1-t）*（1+p）/2*dp[i+1]

（1+t）/2、（1+p）/2 ：答对的概率均匀分布，取平均值

 

#include<cstdio>
using namespace std;
double dp[31],p;
int bit[31];
int main()
{
    bit[0]=1;
    for(int i=1;i<=30;i++) bit[i]=bit[i-1]*2;
    int n;double t;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(!n) return 0;
        scanf("%lf",&t);
        dp[n]=bit[n];
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
        {
            p=bit[i]/dp[i+1];
            if(t>=p) dp[i]=(1+t)/2*dp[i+1];
            else dp[i]=(p-t)/(1-t)*bit[i]+(1-p)/(1-t)*(1+p)/2*dp[i+1];
        }
        printf("%.3lf\n",dp[0]);
    }
}