归并排序，树状数组 两种方法求逆序对

Posted 2020-09-21 clnchanpin

我们知道,求逆序对最典型的方法就是树状数组，可是另一种方法就是Merge_sort(),即归并排序。

实际上归并排序的交换次数就是这个数组的逆序对个数，为什么呢？

我们能够这样考虑：

归并排序是将数列a[l,h]分成两半a[l,mid]和a[mid+1,h]分别进行归并排序，然后再将这两半合并起来。

在合并的过程中（设l<=i<=mid，mid+1<=j<=h）。当a[i]<=a[j]时。并不产生逆序数；当a[i]>a[j]时。在

前半部分中比a[i]大的数都比a[j]大，将a[j]放在a[i]前面的话。逆序数要加上mid+1-i。

因此，能够在归并

排序中的合并过程中计算逆序数.

题目:http://poj.org/problem?

id=1804

题意:给定一个序列a[],每次仅仅同意交换相邻两个数,最少要交换多少次才干把它变成非递降序列.

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 1005;

int a[N],tmp[N];
int ans;

void Merge(int l,int m,int r)
{
    int i = l;
    int j = m + 1;
    int k = l;
    while(i <= m && j <= r)
    {
        if(a[i] > a[j])
        {
            tmp[k++] = a[j++];
            ans += m - i + 1;
        }
        else
        {
            tmp[k++] = a[i++];
        }
    }
    while(i <= m) tmp[k++] = a[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = a[j++];
    for(int i=l;i<=r;i++)
        a[i] = tmp[i];
}

void Merge_sort(int l,int r)
{
    if(l < r)
    {
        int m = (l + r) >> 1;
        Merge_sort(l,m);
        Merge_sort(m+1,r);
        Merge(l,m,r);
    }
}

int main()
{
    int n,T,tt=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        ans = 0;
        Merge_sort(0,n-1);
        printf("Scenario #%d:\n%d\n\n",tt++,ans);
    }
    return 0;
}

树状数组求逆序：

http://poj.org/problem?id=2299

思路: 离散化+树状数组
分析:
1 题目的意思就是要求逆序数对
2 题目的输入个数有500000的规模可是每一个数的最大值为999999999。因此我们须要离散化这些数据
3 对于数据9 1 0 5 4我们离散化成5 2 1 4 3
那么对于输入一个树a[i]我们去求一下它的离散化后的id，然后去求前面比这个id大的个数
4 因为getSum(x)函数的求和是求[1,x]而不是[x。MAXN),所以我们能够换成求小于等于id的个数即getSum(id),然后i-1-getSum(id)就是比id大的个数，最后在更新一下treeNum[id]

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

const int MAXN = 500010;

int n;
int tmpNum[MAXN] , num[MAXN];
int treeNum[MAXN];

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x){
    int sum = 0;
    while(x){
        sum += treeNum[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

void add(int x , int val){
    while(x < MAXN){
         treeNum[x] += val;
         x += lowbit(x);
    }
}

long long solve(){
    long long ans = 0;
    memcpy(tmpNum , num , sizeof(num));
    memset(treeNum , 0 , sizeof(treeNum));
    sort(num+1 , num+1+n);
    int len = unique(num+1 , num+1+n)-(num+1);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        int id = lower_bound(num+1 , num+1+n,tmpNum[i])-num;
        ans += i-getSum(id)-1;
        add(id , 1);
    }
    return ans;
}

int main(){
    while(scanf("%d" , &n) && n){
         for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
             scanf("%d" , &num[i]);
         printf("%lld\n" , solve());
    }
    return 0;
}