贝克莱悖论

Posted 2020-09-20 milantgh

17世纪后期，牛顿、莱布尼茨创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的.

1734年，大主教乔治·贝克莱，以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书<<分析学家或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理>>.

在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击，例如他指责牛顿，为计算比如说x的导数，先将取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)2 ? x2，得到2xΔx + (Δx)2 ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x ，这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”，因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零，因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”，贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的.

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”，笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0，但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾.

首先在有ε-δ语言这套说法之前，关于极限、微分这些概念是不严密的，因为这些东西是从物理的运动学中来的，由牛顿等人在研究物理的运动问题时提出，是同运行相关的概念联系在一起的，所以导致了对极限的认识不清，当时的英国主教乔治·贝克莱就批评牛顿的流数观念，比如说在求微分的时候，牛顿首先给出x一个增量△x，然后又让△x是零，这违背了“背反律”，就是说既然开始定义了△x是一个增量，那么△x就不能为0（不然增什么量呢？），然后在求微分时又让△x成为了零，这不是相互矛盾了吗？还有依靠“忽略高阶无穷小消除误差”的做法是“错误互相抵偿”，仔细想想，还是挺有道理的，既然要用直线来逼近曲线，那么忽略掉了高阶无穷小，焉知是否会带来更多的误差呢？其次，还有对函数什么条件下才是可微的没有清晰严密的认识，导致很多的混乱，比如一开始大家都以为只要函数是连续的则函数就是可微的，结果后来魏尔斯特拉斯构造出了一个处处连续但处处不可微的函数才推翻了人们的直观认识，更早另外有人也构造除了这样的函数，但没有什么影响，然后魏尔斯特拉斯才用这套ε-δ语言来对数学分析进行严密化，从而使得数学分析才有了坚实的基础，沥青了前人的各种错误观念，使得数学分析真正成为了整个现代物理的基础.