[BZOJ2734][HNOI2012]集合选数
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[BZOJ2734][HNOI2012]集合选数
试题描述
《集合论与图论》这门课程有一道作业题,要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数 n≤100000,如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对 1,000,000,001 取模的结果),现在这个问题就交给你了。
输入
只有一行,其中有一个正整数 n,30%的数据满足 n≤20。
输出
仅包含一个正整数,表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。
输入示例
4
输出示例
8
数据规模及约定
有8 个集合满足要求,分别是空集,{1},{1,4},{2},{2,3},{3},{3,4},{4}。
题解
构造 + 状压 dp。
我们可以构造出这样一个矩阵:
1 3 9 27 81 ...
2 6 18 54 162 ...
4 12 36 108 324 ...
... ... ... ... ...
即,每个元素 x 的上方是 x / 2,下方是 2x,左边是 x / 3,右边是 3x,那么这个矩阵中选不相邻的数字就是一个合法方案,计算这个方案数用状压 dp 即可。
注意每列形如 a, 2a, 4a, ...,每行形如 b, 3b, 9b, ...,所以只要每行(列)的开头不一样,那么整行(列)就不会有重复数字;同理,只要两个同样构造方法的矩阵的左上角数字不一样,这两个矩阵的数字不会有交集。
那么我们对于所有剩下的数字的最小的作为左上角 dp 一下,每个矩阵的方案数乘积就是答案。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int read() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar(); } while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = getchar(); } return x * f; } #define maxn 100010 #define maxlog 18 #define maxs 2048 #define MOD 1000000001 #define LL long long int n, len[maxlog], f[maxlog][maxs]; bool used[maxn]; int solve(int x) { memset(len, 0, sizeof(len)); int N = 0; for(int j = 1; x <= n; j++, x *= 3) for(int i = 1, t = x; t <= n; i++, t <<= 1) { len[i] = max(len[i], j); used[t] = 1; N = max(N, i); } memset(f, 0, sizeof(f)); f[0][0] = 1; for(int i = 1; i <= N; i++) { int all = (1 << len[i]) - 1, all1 = (1 << len[i-1]) - 1; for(int S = 0; S <= all; S++) { bool ok = 1; for(int j = 0; j < len[i] - 1; j++) if((S >> j & 1) && (S >> j + 1 & 1)){ ok = 0; break; } if(!ok) continue; for(int S1 = 0; S1 <= all1; S1++) if(f[i-1][S1] && !(S & S1)) { f[i][S] += f[i-1][S1]; if(f[i][S] >= MOD) f[i][S] -= MOD; } } } int ans = 0; for(int S = 0; S <= (1 << len[N]) - 1; S++) { ans += f[N][S]; if(ans >= MOD) ans -= MOD; } return ans; } int main() { n = read(); int ans = 1; for(int i = 1; i <= n; i++) if(!used[i]) ans = (LL)ans * solve(i) % MOD; printf("%d\n", ans); return 0; }
这题不能用 fread。。。
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