51Nod 1228 序列求和

Posted 2020-09-19 SilverNebula

T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + ...... T(n)。给出n和k，求S(n)。

 

例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。

由于结果很大，输出S(n) Mod 1000000007的结果即可。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 5000)
第2 - T + 1行：每行2个数，N, K中间用空格分割。(1 <= N <= 10^18, 1 <= K <= 2000)

Output

共T行，对应S(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

3
5 3
4 2
4 1

Output示例

225
30
10

 

数学问题 伯努利数 模板题

用伯努利数可以求自然数幂的和：

$ \sum_{i=1}^{n} i^2 =  \frac{1}{k+1}* \sum_{i=1}^{k+1} (C_{k+1}^{k+1-i} *B_{k+1-i}*(n+1)^i) $

伯努利数可以$O(n^2)$递推出来：

$ B_n=-\sum_{k=0}^{n-1} C_{n+1}^{k}*B_k$

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #define LL long long
 7 using namespace std;
 8 const int mod=1e9+7;
 9 const int mxn=2017;
10 LL read(){
11     LL x=0,f=1;char ch=getchar();
12     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
13     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10-‘0‘+ch;ch=getchar();}
14     return x*f;
15 }
16 LL B[mxn];
17 int c[mxn][mxn];
18 int ksm(int a,int k){
19     int res=1;
20     while(k){
21         if(k&1)res=(LL)res*a%mod;
22         a=(LL)a*a%mod;
23         k>>=1;
24     }
25     return res;
26 }
27 void init(){
28     for(int i=0;i<mxn;i++)c[i][0]=1;
29     for(int i=1;i<mxn;i++)
30         for(int j=1;j<mxn;j++)
31             c[i][j]=((LL)c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
32     B[0]=1;
33     for(int i=1;i<mxn;i++){
34         for(int j=0;j<i;j++)
35             B[i]=(B[i]-c[i+1][j]*B[j])%mod;
36         int inv=ksm(i+1,mod-2);
37         B[i]=B[i]*inv%mod;
38         if(B[i]<0)B[i]+=mod;
39     }
40     return;
41 }
42 LL n;int k;
43 void calc(){
44     int res=0;
45     int tmp=(n+1)%mod;int bas=tmp;
46     for(int i=1;i<=k+1;i++){
47         res=((LL)res+(LL)c[k+1][i]*B[k+1-i]%mod*tmp%mod)%mod;
48         tmp=(LL)tmp*bas%mod;
49     }
50     int inv=ksm(k+1,mod-2);
51     res=(LL)res*inv%mod;
52     printf("%d\n",res);
53     return;
54 }
55 int main(){
56     int i,j;
57     init();
58     int T=read();
59     while(T--){
60         n=read();k=read();
61         calc();
62     }
63     return 0;
64 }