反演复习计划bzoj1011zap-queries

Posted 2020-09-19 zcysky

快三个月没做反演题了吧……

感觉高一上学期学的全忘了……

所以还得从零开始学推式子。

# bzoj1011

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原题意思是求以下式子：
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{i=1}^{b}[gcd(i,j)==k]$
首先把k拿下来，得到
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a/k}\sum\limits_{i=1}^{b/k}[gcd(i,j)==1]$
然后考虑mobius函数的性质：
$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=1(n==1),0(n>1)$
所以可以把那个gcd的式子替换下，得到：
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a/k}\sum\limits_{i=1}^{b/k}\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\mu(i)$
我们稍微改写一下这个式子：
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a/k}\sum\limits_{i=1}^{b/k}\sum\limits_{d|i,d|j}\mu(i)$
这个时候我们把$\mu(i)$提前（也就是交换枚举顺序）得到下面的式子：
$Ans=\sum\limits_{d=1}^{min(a/k,b/k)}\mu(i)\sum\limits_{i=1,d|i}^{a/k}\sum\limits_{j=1,d|j}^{b/k}1$
这个式子比较蠢，我们能看出来这个式子的意思就是：
$Ans=\sum\limits_{d=1}^{min(a/k,b/k)}\mu(i)\frac{a/k}{d}\frac{b/k}{d}$
考虑到后者只有$\sqrt{\frac{a}{k}}$种取值
所以下底函数分块，前缀和优化下就能过了。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
int prime[N],mu[N],s[N],vis[N],cnt=0;
void calcmu(){
    cnt=0;mu[1]=1;memset(vis,1,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(vis[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            int t=prime[j]*i;if(t>N)break;
            vis[t]=0;
            if(i%prime[j]==0){mu[t]=0;break;}
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
    s[0]=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)s[i]=s[i-1]+mu[i];
}
ll calc(int n,int m,int k){
    n/=k;m/=k;ll ans=0;int j=0;
    if(n>m)swap(n,m);
    for(int i=1;i<=n;i=j+1){
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=1LL*(s[j]-s[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}
inline int read(){
    int f=1,x=0;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch==‘-‘)f=-1;}while(ch<‘0‘||ch>‘9‘);
    do{x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘);
    return f*x;
}
int main(){
    int T=read();calcmu();
    while(T--){
        int n=read(),m=read(),k=read();
        printf("%lld\n",calc(n,m,k));
    }
    return 0;
}