洛谷P3455- [POI2007]ZAP-Queries - 莫比乌斯反演
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了洛谷P3455- [POI2007]ZAP-Queries - 莫比乌斯反演相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
题目：
思路：
题意让求:
∑
x
=
1
a
∑
y
=
1
b
[
g
c
d
(
x
,
y
)
=
k
]
\\sum_{x=1}^a\\sum_{y=1}^b[gcd(x, y)=k]
∑x=1a∑y=1b[gcd(x,y)=k]
我们只需要设置：
f
(
k
)
=
∑
x
=
1
a
∑
y
=
1
b
[
g
c
d
(
x
,
y
)
=
k
]
f(k)=\\sum_{x=1}^a\\sum_{y=1}^b[gcd(x, y)=k]
f(k)=∑x=1a∑y=1b[gcd(x,y)=k]
为使 F ( n ) = ∑ n ∣ d f ( d ) F(n)=\\sum_{n|d}f(d) F(n)=∑n∣df(d)成立
我们设置
F
(
k
)
=
∑
x
=
1
a
∑
y
=
1
b
[
k
∣
g
c
d
(
x
,
y
)
]
F(k)=\\sum_{x=1}^a\\sum_{y=1}^b[k|gcd(x, y)]
F(k)=∑x=1a∑y=1b[k∣gcd(x,y)]
为了准确计算所有
[
k
∣
g
c
d
(
x
,
y
)
]
=
1
[k|gcd(x,y)]=1
[k∣gcd(x,y)]=1的情况
我们用
x
′
=
x
k
,
y
′
=
y
k
x'=\\frac xk,\\quad y'=\\frac yk
x′=kx,y′=ky来表示我们枚举的都是k的倍数
则此时 F ( k ) = ∑ x ′ = 1 a k ∑ y ′ = 1 b k 1 = ⌊ a k ⌋ ∗ ⌊ b k ⌋ F(k)=\\sum_{x'=1}^{\\frac ak}\\sum_{y'=1}^{\\frac bk}1 = \\left \\lfloor \\frac ak \\right \\rfloor * \\left \\lfloor\\frac bk \\right \\rfloor F(k)=∑x′=1ka∑y′=1kb1=⌊ka⌋∗⌊kb⌋
根据莫比乌斯反演定理得
f
(
k
)
=
∑
k
∣
d
μ
(
d
k
)
F
(
d
)
f(k)=\\sum_{k|d}\\mu(\\frac dk)F(d)
f(k)=∑k∣dμ(kd)F(d)
我们枚举k的倍数，所以设 d ′ = d k , d = d ′ k d'=\\frac dk,\\quad d=d'k d′=kd,d=d′k，枚举 d ′ d' d′
则 f ( k ) = ∑ d ′ = 1 m i n ( a , b ) μ ( d ′ ) F ( d ′ k ) f(k)=\\sum_{d'=1}^{min(a,b)}\\mu(d')F(d'k) f(k)=∑d′=1min(a,b)μ(d′)F(d′k)
∵ F ( d ′ k ) = ⌊ a d ′ k ⌋ ∗ ⌊ b d ′ k ⌋ \\because F(d'k)= \\left \\lfloor \\frac a{d'k} \\right \\rfloor * \\left \\lfloor\\frac b{d'k} \\right \\rfloor ∵F(d′k)=⌊d′ka⌋∗⌊d′kb⌋
我们设
a
′
=
a
k
,
b
′
=
b
k
a'=\\frac ak,\\quad b'=\\frac bk
a′=ka,b′=kb
则
F
(
d
′
k
)
=
⌊
a
′
d
′
⌋
∗
⌊
b
′
d
′
⌋
F(d'k)=\\left \\lfloor \\frac {a'}{d'} \\right \\rfloor * \\left \\lfloor\\frac {b'}{d'} \\right \\rfloor
F(d′k)=⌊d′a′⌋∗⌊d′b′⌋
∴ f ( k ) = ∑ d ′ = 1 m i n ( a , b ) μ ( d ′ ) ⌊ a ′ d ′ ⌋ ⌊ b ′ d ′ ⌋ \\therefore f(k)=\\sum_{d'=1}^{min(a,b)}\\mu(d')\\left \\lfloor \\frac {a'}{d'} \\right \\rfloor \\left \\lfloor\\frac {b'}{d'} \\right \\rfloor ∴f(k)=∑d′=以上是关于洛谷P3455- [POI2007]ZAP-Queries - 莫比乌斯反演的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
BZOJ1101 & 洛谷3455：[POI2007]ZAP——题解
[Luogu3455][POI2007]ZAP-Queries
Luogu3455POI2007ZAP-Queries（莫比乌斯反演）