数学#素数判定Miller_Rabin+大数因数分解Pollard_rho算法 POJ 1811&2429
Posted ATM
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数学#素数判定Miller_Rabin+大数因数分解Pollard_rho算法 POJ 1811&2429相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
素数判定Miller_Rabin算法详解：
http://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45458569
大数因数分解Pollard_rho算法详解：
http://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45459533
然后是参考了kuangbin的模板：
http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/19/2646396.html
模板如下：
//快速乘 (a*b)%mod //二进制竖式乘法： //10101*1011= //10101*1+10101*2^1*1+10101*2^2*0+10101*2^3*1 //位上是1的就加，是0的就不加 ll mult_mod(ll a,ll b,ll mod) { a%=mod; b%=mod; ll res=0; while(b) { if(b&1) { res+=a; res%=mod; } a<<=1; if(a>=mod) a%=mod; b>>=1; } return res; } //快速幂 (x^n)%mod ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod) { if(n==1) return x%mod; x%=mod; ll t=x; ll res=1; while(n) { if(n&1) res=mult_mod(res,t,mod); t=mult_mod(t,t,mod);//t平方 n>>=1;//变成n/2 } return res; } //若为合数返回true，不一定返回false //a^(n-1)=1(mod n) -> a^((2^t)*x)=-1(mod n) == a^x=1(mod n) bool test(ll a,ll n,ll x,ll t)//miller_rabin算法的核心 { ll res=pow_mod(a,x,n);//a^x mod n ll last=res; for(int i=1;i<=t;i++) { res=mult_mod(res,res,n);//res=res*res mod n if(res==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; last=res; } if(res!=1) return true; return false; } //若为素数（或伪素数）返回true，合数返回false bool miller_rabin(ll n) { if(n<2) return false; if(n==2) return true; if((n&1)==0) return false; //偶数 ll x=n-1,t=0; while((x&1)==0)//n-1=(2^t)*x; { x>>=1; t++; } for(int i=0;i<times;i++)//进行随机判定 { ll a=rand()%(n-1)+1;//随机找0~n-1的整数 if(test(a,n,x,t))// return false; } return true; } ll factor[100];//保存质因数分解结果 int tot;//记录质因数个数，下标从0开始 ll gcd(ll a,ll b) { if(a==0) return 1; if(a<0) return gcd(-a,b); while(b) { ll c=a%b; a=b; b=c; } return a; } ll pollard_rho(ll x,ll c) { ll i=1,k=2; ll x0=rand()%x; ll y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; ll d=gcd(y-x0,x); if(d!=1&&d!=x) return d; if(y==x0) return x; if(i==k) { y=x0; k+=k; } } } //对n进行素因子分解 void find_factor(ll n) { if(miller_rabin(n))//若为素数 { factor[tot++]=n; return ; } ll p=n; while(p>=n) p=pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1); find_factor(p); find_factor(n/p); }
POJ 1811 完完全全的模板题
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<ctime> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int times=20;//随机算法判定次数 //快速乘 (a*b)%mod //二进制竖式乘法： //10101*1011= //10101*1+10101*2^1*1+10101*2^2*0+10101*2^3*1 //位上是1的就加，是0的就不加 ll mult_mod(ll a,ll b,ll mod) { a%=mod; b%=mod; ll res=0; while(b) { if(b&1) { res+=a; res%=mod; } a<<=1; if(a>=mod) a%=mod; b>>=1; } return res; } //快速幂 (x^n)%mod ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod) { if(n==1) return x%mod; x%=mod; ll t=x; ll res=1; while(n) { if(n&1) res=mult_mod(res,t,mod); t=mult_mod(t,t,mod);//t平方 n>>=1;//变成n/2 } return res; } //若为合数返回true，不一定返回false //a^(n-1)=1(mod n) -> a^((2^t)*x)=-1(mod n) == a^x=1(mod n) bool test(ll a,ll n,ll x,ll t)//miller_rabin算法的核心 { ll res=pow_mod(a,x,n);//a^x mod n ll last=res; for(int i=1;i<=t;i++) { res=mult_mod(res,res,n);//res=res*res mod n if(res==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; last=res; } if(res!=1) return true; return false; } //若为素数（或伪素数）返回true，合数返回false bool miller_rabin(ll n) { if(n<2) return false; if(n==2) return true; if((n&1)==0) return false; //偶数 ll x=n-1,t=0; while((x&1)==0)//n-1=(2^t)*x; { x>>=1; t++; } for(int i=0;i<times;i++)//进行随机判定 { ll a=rand()%(n-1)+1;//随机找0~n-1的整数 if(test(a,n,x,t))// return false; } return true; } ll factor[100];//保存质因数分解结果 int tot;//记录质因数个数，下标从0开始 ll gcd(ll a,ll b) { if(a==0) return 1; if(a<0) return gcd(-a,b); while(b) { ll c=a%b; a=b; b=c; } return a; } ll pollard_rho(ll x,ll c) { ll i=1,k=2; ll x0=rand()%x; ll y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; ll d=gcd(y-x0,x); if(d!=1&&d!=x) return d; if(y==x0) return x; if(i==k) { y=x0; k+=k; } } } //对n进行素因子分解 void find_factor(ll n) { if(miller_rabin(n))//若为素数 { factor[tot++]=n; return ; } ll p=n; while(p>=n) p=pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1); find_factor(p); find_factor(n/p); } int main() { srand(time(0)); //需要ctime文件，poj的g++无法实现 int t; scanf("%d",&t); ll n; while(t--) { scanf("%I64d",&n); if(miller_rabin(n)) { printf("Prime\\n"); continue; } tot=0; find_factor(n); sort(factor,factor+tot); printf("%I64d\\n",factor[0]); } }
这道题的函数是自己重新打了一遍的，因为理解不透彻，打算边打边想，结果还是没想清楚，尤其是后面的pollard_rho算法，而且还因为把long long型变量声明成了int型，导致一直TLE。。。
AC代码如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<ctime> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int times=20;//随机算法判定次数 ll factor[1000],tot,ans,mina,k; ll gcd(ll a,ll b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } ll mult_mod(ll a,ll b,ll mod) { a%=mod; b%=mod; ll res=0; while(b) { if(b&1) { res+=a; res%=mod; } a<<=1; if(a>=mod) a%=mod; b>>=1; } return res; } ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod) { if(n==1) return x%mod; x%=mod; ll t=x,res=1; while(n) { if(n&1) res=mult_mod(res,t,mod); t=mult_mod(t,t,mod); n>>=1; } return res; } bool test(ll a,ll n) { ll x=n-1,t=0,res,last; while((x&1)==0) { x>>=1; t++; } last=pow_mod(a,x,n); for(int i=0;i<t;i++) { res=pow_mod(last,2,n); if(res==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; last=res; } if(res!=1) return true; return false; } bool millier_rabin(ll n) { if(n==2) return true; if(n==1||(n&1)==0) return false; for(int i=0;i<times;i++) { ll a=rand()%(n-1)+1; if(test(a,n)) return false; } return true; } ll pollard_rho(ll x,ll c) { ll x0,y,i=1,k=2; x0=rand()%x; y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; ll d=gcd(y-x0,x); if(d>1&&d<x) return d; if(y==x0) break; if(i==k) { y=x0; k+=k; } } return x; } void find_fac(ll n,int c) { if(n==1) return; if(millier_rabin(n)) { factor[tot++]=n; return; } ll p=n; while(p>=n) p=pollard_rho(p,c--); find_fac(p,c); find_fac(n/p,c); } void dfs(ll i,ll x) { if(i>=tot) { if(x>mina&&x<=k) mina=x; return; } dfs(i+1,x); dfs(i+1,x*factor[i]); } int main() { ll n,m; while(~scanf_s("%I64d%I64d",&n,&m)) { srand(time(0)); //需要ctime文件，poj的g++无法实现 if(n==m) { printf("%I64d %I64d\\n",n,m); continue; } tot=0; ans=m/n; find_fac(ans,107); sort(factor,factor+tot); int i,j=0; for(i=1;i<tot;i++) { while(factor[i-1]==factor[i]&&i<tot) factor[j]*=factor[i++]; if(i<tot) factor[++j]=factor[i]; } tot=j+1; mina=1; k=(ll)sqrt(ans*1.0); dfs(0,1); printf("%I64d %I64d\\n",mina*n,ans/mina*n); } return 0; }
以上是关于数学#素数判定Miller_Rabin+大数因数分解Pollard_rho算法 POJ 1811&2429的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
Miller_Rabin codevs 1702 素数判定2